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數(shù)學(xué)課堂中的“數(shù)學(xué)化”
一、“數(shù)學(xué)化”的含義
兒童如何建構(gòu)自己對數(shù)學(xué)概念的理解？兒童之間理解上的差異是如何產(chǎn)生的？如何促進(jìn)學(xué)生早期數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展？為了解決這些問題，我們需要引入一個(gè)新的概念——“數(shù)學(xué)化”。
“數(shù)學(xué)化”是西方學(xué)者近年來提出的一個(gè)概念，具體是指師生在數(shù)學(xué)教學(xué)過程共同努力、相互作用，使兒童準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)表達(dá)或運(yùn)算所需的規(guī)則和準(zhǔn)則，最終形成自己關(guān)于各種物體和情境的數(shù)學(xué)模式�！皵�(shù)學(xué)化”對于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和解決問題能力的形成非常重……
二、“數(shù)學(xué)化”的過程
研究兒童的“數(shù)學(xué)化”，我們要追溯到兒童在學(xué)校的最早幾年。從數(shù)學(xué)問題在課堂中出現(xiàn)開始，兒童就開始了數(shù)學(xué)化的過程。下面，我們從教師的解釋、學(xué)生的表征和早期的算式三個(gè)方面來分析兒童的數(shù)學(xué)化。
1.教師的解釋
黑板上畫了四只站在電線上的鳥，旁邊有三只正飛的鳥。教師的任務(wù)是讓孩子們把這樣一幅圖畫理解為像7-3=4這樣的“算式”。這是一個(gè)最初步的數(shù)學(xué)化問題。在教學(xué)中，教師常常把這些復(fù)雜的關(guān)系分解為一系列的程序或更小的步驟，花費(fèi)大量的時(shí)間解說、指導(dǎo)和糾誤，直到全班大多數(shù)學(xué)生理解了這些關(guān)系。下面的教學(xué)錄像片段典型地反映了這一過程。
師：在這個(gè)式子里，數(shù)字"4"的含義是什么？（手指數(shù)字"4"）
生：是不是因?yàn)橛兴闹圾B？（提高聲音問）
師：這兒有許多鳥（多于四只），但這四只鳥有什么特別的地方？
生：（幾個(gè)學(xué)生立即討論起來）它們站著。它們先來。它們個(gè)頭比較小。它們睡著了。
師：那么，式子中數(shù)字"3"的含義是什么呢？（指著"3"）
生：（幾個(gè)學(xué)生）三只鳥在飛。它們剛到這兒。它們?nèi)セ丶�。不是，它們飛走了！
師：好，它們飛走了。那么，我們?yōu)槭裁从衷谶@里寫一個(gè)減號(hào)呢？（指著減號(hào)）
生：因?yàn)樗鼈冿w走了。
師：那么等號(hào)的意思是……？
生：（幾個(gè)學(xué)生一起說）它們一共剩多少只？結(jié)果……總共剩下多少只？
師：對。結(jié)果總共剩下四只鳥。
很明顯，通過如此的反復(fù)問答能夠促進(jìn)學(xué)生把圖形表達(dá)和數(shù)式表達(dá)聯(lián)系起來，形成解釋規(guī)則的能力，在一些學(xué)生的思維中完成了最為初步的數(shù)學(xué)化。為此，教材的編寫者也進(jìn)行了很多努力。他們通常用簡潔易讀的方式組織圖片，把要數(shù)的物體排列好，避免干擾項(xiàng)，用最簡單的和最顯眼的特征區(qū)別它們，并把相同任務(wù)的內(nèi)容分組。
2.學(xué)生的表征
實(shí)際上，師生的反復(fù)問答常常只能使那些與教師思維方式相近的學(xué)生較好地完成數(shù)學(xué)化，最根本的原因是學(xué)生對圖片的不同表征。研究表明，學(xué)生實(shí)現(xiàn)圖片到算式的轉(zhuǎn)化是一個(gè)解釋的推理過程。在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生經(jīng)常要對圖畫中的數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行推斷，然后與教師及其它同學(xué)的判斷進(jìn)行比較性反思，最終形成自己的數(shù)學(xué)模式。比如，"1+1=2"表示一只鳥停留，一只鳥飛來。"4-3=1"表示留下的鳥比飛走的鳥少3只�！�7×2=14”表示7只鳥共有14條腿。飛走的鳥（離開一個(gè)群體）可以形成減的模式，這些鳥加入另一個(gè)群體又形成了加的模式等。
兒童一旦完成了圖畫與數(shù)學(xué)符號(hào)關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，并與“公認(rèn)”的關(guān)系一致，就完成了這方面的數(shù)學(xué)化。但這一過程是緩慢而且復(fù)雜的。對于不同的學(xué)生而言，沒有一對一的現(xiàn)實(shí)圖片與數(shù)學(xué)表達(dá)符號(hào)之間的轉(zhuǎn)向，同一幅圖畫可以被不同的學(xué)生理解成多種不同的解釋。值得注意的是，一些教師把這些早期的表征和圖畫看作是不言自明的，用許多武斷的指令——“就看這兒”“你只需看這兒”引導(dǎo)學(xué)生。這種模糊的解釋超越了學(xué)生的接受力而成為一種障礙或?qū)Ρ疽獾睦斫猱a(chǎn)生干擾。有時(shí)盡管實(shí)屬無意，但卻壓制了學(xué)生數(shù)學(xué)概念和批判性推理能力的形成，阻礙了學(xué)生靈活的意義歸屬能力的發(fā)展，也剝奪了他們運(yùn)用的樂趣。學(xué)生最終形成的不是數(shù)學(xué)化的能力和思維，而是一些機(jī)械的慣例和規(guī)則。
3.早期的算式
與表征數(shù)學(xué)概念相比，早期的“算式”是更為復(fù)雜的一種數(shù)學(xué)化過程。我們的調(diào)查表明，大多數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)教材最先介紹的是像"3+2=5"這樣的算式。先明確運(yùn)算操作，包括加、減、乘、除；而后是等號(hào)，明確等號(hào)的意義；再后是結(jié)果。這一順序被認(rèn)為是一個(gè)對操作和結(jié)果的一般描述，且符合我們寫的順序。教師試圖把這些早期的算式概括出來，使學(xué)生能夠理解和接受時(shí)，相關(guān)的問題就出現(xiàn)了。通常，教師先教給學(xué)生我們常用的算式"3+2=5"，之后變化元素排列的順序成為"5=3+2"，并解釋說：“現(xiàn)在我們一共有五顆珠子，其中有三顆紅色的和兩顆綠色的，現(xiàn)在我們把它寫下來�！边@里教師沒有對話里這些元素的順序和寫的順序進(jìn)行分析，因此，許多孩子毫不猶豫地寫下了"5+3=2"，表現(xiàn)出他們業(yè)已形成的機(jī)械的書寫算式的習(xí)慣模式。教師再講解和引導(dǎo)，反復(fù)強(qiáng)調(diào)“＋”號(hào)的意義和“＝”號(hào)的意義，卻毫無作用�？梢�，如果學(xué)生習(xí)慣了一個(gè)模式，再用與其不同的模式就需要花費(fèi)時(shí)間；如果不采取一定措施，另一個(gè)訓(xùn)練的結(jié)果會(huì)和前面訓(xùn)練的結(jié)果一樣糟糕和有局限。
數(shù)學(xué)教學(xué)是一種數(shù)學(xué)化的過程。在數(shù)學(xué)化過程中師生共同努力，相互作用，共同完成數(shù)學(xué)化的過程。
三、影響“數(shù)學(xué)化”的心理與社會(huì)因素
為什么一些學(xué)生能夠順利地完成數(shù)學(xué)化的過程，而一些學(xué)生不能完成自己的數(shù)學(xué)化？我們分別從建構(gòu)主義心理學(xué)和社會(huì)學(xué)兩個(gè)角度考察，把這些因素概括為以下四個(gè)方面。
1.教師的語言
基礎(chǔ)教育階段的每一個(gè)數(shù)學(xué)化活動(dòng)都必須從日常經(jīng)驗(yàn)和語言開始，教師的語言非常重要。首先，教師（尤其在基礎(chǔ)教育階段的教師）應(yīng)該用簡單的日常用語進(jìn)行陳述數(shù)學(xué)含義的訓(xùn)練，否則他們在與學(xué)生的有關(guān)對話中，就不能熟練地識(shí)別學(xué)生相關(guān)話語中潛在的數(shù)學(xué)意義，也當(dāng)然不能很好地促進(jìn)學(xué)生形成意義和提高相應(yīng)的表達(dá)。其次，教師應(yīng)通過對話與學(xué)生充分地進(jìn)行意義的協(xié)商，使學(xué)生理解的“主題”與教師的理解相一致，而不能只讓學(xué)生得到是或非的判斷。再者，學(xué)生可能會(huì)忽視教師的反對和提示，從而缺乏形成障礙的可能，教師要善于運(yùn)用挑戰(zhàn)性的語言，提高學(xué)生的思考和自制能力。
2.學(xué)生的“自然態(tài)度”
由于遺傳和學(xué)習(xí)的經(jīng)歷；兒童會(huì)不知不覺地形成一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣，如習(xí)慣性的表征方式、思考問題的策略等。這些習(xí)慣性的常規(guī)通常在潛意識(shí)中運(yùn)行，構(gòu)成了兒童數(shù)學(xué)行為的基礎(chǔ)，我們稱之為“自然態(tài)度”。“自然態(tài)度”相對穩(wěn)定，使兒童從緊張和無休止地做決定狀態(tài)中解脫出來。如果遇到新的問題，學(xué)生常常在潛意識(shí)中遵從“自然態(tài)度”。如果這樣不能理解或解決新的數(shù)學(xué)問題，他們往往要花費(fèi)相當(dāng)多的時(shí)間改變自己的“自然態(tài)度”，其間還需要教師的幫助和引導(dǎo)。
3.師生的“互動(dòng)模式”
在我們的數(shù)學(xué)課堂中，數(shù)學(xué)化主要是通過師生之間的交互作用實(shí)現(xiàn)的。而且，由于人們普遍低估了學(xué)生間交互作用的意義，所以這種類型的交互作用沒有在日常教學(xué)實(shí)踐中充分發(fā)揮作用。師生間的交互作用，分為“單向”和“雙向”兩種�！皢蜗蚰Ｊ健币话阋越處煘橹鲗�(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生通過反復(fù)操練形成數(shù)學(xué)習(xí)慣，學(xué)生處于被動(dòng)地位；沒有機(jī)會(huì)反思自己的建構(gòu)與教師和他人建構(gòu)的差異，學(xué)習(xí)成果常常是機(jī)械的'�！半p向模式”則以師生的積極互動(dòng)為前提，對于一幅圖畫，教師要思考自己為什么把它理解為“減”的模式，而不是“加”，還要給學(xué)生充分的時(shí)間建構(gòu)、反思和修正自己的模式。
4.課堂中的文化因素
實(shí)際上，數(shù)學(xué)課堂是一種數(shù)學(xué)文化，而不只是一種智力或心理活動(dòng)。這些文化因素是教師和學(xué)生在長期的教學(xué)實(shí)踐中形成的，潛移默化中影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)化。這些因素包括：①學(xué)生的成功和失敗以及被期望達(dá)到的一切結(jié)果；②學(xué)生對任務(wù)的焦慮；③可覺察到的教師的參與和情緒；④同班同學(xué)的反應(yīng)；⑤師生運(yùn)用的語句；⑥小組中被認(rèn)同的行為風(fēng)格等。從建構(gòu)主義的角度出發(fā)，教師充分考慮這些因素，培育和保護(hù)健康的課堂文化。文化因素豐富、健康的課堂，學(xué)生的數(shù)學(xué)化會(huì)順利完成。相反，在一個(gè)文化貧乏的課堂中，即使是積極參與的學(xué)生，也沒有很多機(jī)會(huì)經(jīng)歷挑戰(zhàn)和感受驚奇，學(xué)生的數(shù)學(xué)化和課堂文化的發(fā)展都會(huì)因此受損。
四、對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示
1.教師要成為“合作建構(gòu)者”
通過對數(shù)學(xué)化的過程及影響因素的分析，我們可以明顯看出教師的關(guān)鍵性作用。在學(xué)生數(shù)學(xué)化的過程中，教師要扮演合作建構(gòu)者的角色，而不能只是一個(gè)主觀的領(lǐng)航員。在學(xué)生每一個(gè)概念化的過程中，教師都要先反思自己概念形成的過程，而后再分析學(xué)生建構(gòu)的過程，通過對話和互動(dòng)性的活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較性反思。學(xué)生的數(shù)學(xué)化受個(gè)體表征問題的方式和生活經(jīng)歷的影響，教師還要用簡潔豐富的生活語言，使學(xué)生順利地完成生活概念向數(shù)學(xué)概念的轉(zhuǎn)換。
2.讓學(xué)生解決“自我組織”的問題
本質(zhì)而言，數(shù)學(xué)化的最終結(jié)果是學(xué)生在頭腦中建構(gòu)自己對數(shù)學(xué)概念和問題情境的理解。由此，教師要在課堂中安排一些特定的階段，讓兒童解決“自我組織”的問題，分小組完成“新”任務(wù)，啟發(fā)他們的創(chuàng)造性，甚至還要教給他們一些多元的解決問題的原則和策略。在這些階段里，師生還要對解決問題的不同方式、方法以及如何發(fā)現(xiàn)不同的觀點(diǎn)、論據(jù)和答辯進(jìn)行細(xì)致的討論，對學(xué)生的口頭成果進(jìn)行細(xì)致的推敲，判斷學(xué)生數(shù)學(xué)化過程中的各種要素是否合適。
3.正確對待兒童的“錯(cuò)誤”
在書面測驗(yàn)、家庭作業(yè)以及課堂回答時(shí)，兒童常常會(huì)出現(xiàn)一些“錯(cuò)誤”。教師應(yīng)當(dāng)把這些“錯(cuò)誤”看作是師生在積極參與和共同建構(gòu)過程中必然伴隨的現(xiàn)象，是學(xué)生“入門了”的積極信號(hào)，而不是把它當(dāng)作必須馬上刪除的偶發(fā)事件。教師應(yīng)對這些錯(cuò)誤認(rèn)真研究，找出錯(cuò)誤背后的心理因素或社會(huì)因素的原因，必要時(shí)還應(yīng)為學(xué)生提供一些對照性的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生把建構(gòu)過程深入下去，最終高質(zhì)量地完成數(shù)學(xué)化。針對個(gè)別“難教的”學(xué)生，教師還要分析他們的各種敘述、練習(xí)和訓(xùn)練，認(rèn)同他們即便是胡言亂語但有積極意義的結(jié)論，并以此為基礎(chǔ)逐步改善他們的“習(xí)慣模式”。
4.重視課堂中的文化因素
在課堂中，教師容易對學(xué)生的數(shù)學(xué)化行為嚴(yán)格要求，而對教室內(nèi)的文化因素相對輕視，而這常常成為導(dǎo)致一些學(xué)生數(shù)學(xué)問題的根本原因。教師和學(xué)生在教室中所做的一切共同構(gòu)成了這個(gè)數(shù)學(xué)化班級特有的文化，這種文化包含了教師的特性、學(xué)生的特性和正在出現(xiàn)的“數(shù)學(xué)化”的特性。這種文化的形成需要兩方面的動(dòng)力支持；師生間的互動(dòng)、生生間的互動(dòng)。教師應(yīng)從這兩方面入手，在課堂對話中展開明確的“意義協(xié)商”，并附之以學(xué)生日常行為的例子，同時(shí)為學(xué)生間的討論和解決“自組織”的問題創(chuàng)造機(jī)會(huì)。
【參考文獻(xiàn)】
�、� LeslieP.SteffeJerryGale.ConstructivisminEducationLawrence,ErlbaumAssociates,1995.
② 石循忠《數(shù)學(xué)創(chuàng)造進(jìn)入課堂——數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的教學(xué)策略》（《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》1999.4.）
�、� 陳宏瑤《數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的教學(xué)初探》（《廈門教育學(xué)院學(xué)報(bào)》2001.1.）
④ 劉祥偉《對弗賴登塔爾“數(shù)學(xué)化”的再認(rèn)識(shí)》（《重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版》2001.2.）
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