《論數(shù)學》論文范文
論數(shù)學
討論任意領(lǐng)域中智力活動的性質(zhì)是一件困難的任務(wù)，對處于人類智能中心領(lǐng)域的數(shù)學就更是如此。對人類智能的性質(zhì)作一般的討論，從本質(zhì)上來說是困難的，它在任何情況下總比只涉及那些特殊范圍的智能的討論要更為困難。理解飛機的結(jié)構(gòu)和升力、推力的力學原理，比乘坐飛機、以至駕駛它要更為困難。在沒有以直觀的和經(jīng)驗的方式獲得某些知識之前，在沒有預(yù)先了解、熟悉以及駕駛過飛機之前，人們就能理解原理及其過程，這是罕見的。
在數(shù)學領(lǐng)域中，這種討論如果以一種非數(shù)學的方式進行的話，限制將更為苛刻。討論必然會顯示出某些不良的特性，得到的結(jié)果所依據(jù)的材料決不可能充分;相反，面面俱到的膚淺的討論卻不可避免。盡管我甚至意識到，我將要提出的說法有不少短處，但是很抱歉我還是得說下去。此外，我準備表述的觀點，也完全可能不為許多其他數(shù)學家所贊同。你可能獲得一個人為的不太系統(tǒng)的印象和解釋。我提出的看法，對這些討論究竟有多少價值，也許是很小的。在我看來，刻畫數(shù)學特點的最有力的事實，是它和的特有聯(lián)系�；蛘吒话愕卣f，它和任何一類比處于純粹描述水準更高級一些的、能對經(jīng)驗作出解釋的科學的特有聯(lián)系。大多數(shù)數(shù)學家和非數(shù)學家將會同意，數(shù)學不是一門經(jīng)驗科學，或者至少可以說它不是以某種來自經(jīng)驗科學技術(shù)的實現(xiàn)的，但是它的和自然科學卻緊密相聯(lián)。它的一個主要分支幾何學，買際上起源于自然科學、經(jīng)驗科學。某些科學中最大的靈感(我認為是最大的)清楚地來源于自然科學，數(shù)學方法滲透和支配著自然科學的許多“”分支。在現(xiàn)代經(jīng)驗科學中，能否接受數(shù)學方法或與數(shù)學相近的物方法，已愈來愈成為該學科成功與否的主要標準。確實，整個自然科學一系列不可割斷的相繼現(xiàn)象的鏈，它們都被打上數(shù)學的標志，幾乎和科學進步的理念是一致的，這也變得越來越明顯了。生物學變得更受到化學和物理滲透，這些化學是實驗和理論的物理，而物理是形式甚為數(shù)學化的理論物理。
有一個甚為特殊的數(shù)學性質(zhì)的兩重性，人們必須理解它，接受它，并且把它吸收到自己正在思考的主題中去。這種兩重性是數(shù)學的本來面目，我不相信無需犧牲事物的實質(zhì)，就可能簡化和單一化對事物的看法。
因而我并不試圖為你提供一種單一化的模式，我將盡可能地，描寫數(shù)學所具有的多重現(xiàn)象。無可否認，在人們能想象的那部分純粹數(shù)學中，某些最為激動人心的靈感來自自然科學，我將提及兩個最值得紀念的事實。
第一個例子是幾何學。幾何學是古代數(shù)學中的一個主要部分，現(xiàn)在仍然是現(xiàn)代數(shù)學中幾個主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是經(jīng)驗的，它開始成為一門學科并不像當今的理論物理。離開這些跡象，就很難說“幾何學”是什么了，歐氏的公理化處理是幾何學脫離經(jīng)驗向前跨出一大步的標志，但是它全然不能簡單地被看成是決定性的、絕對的、最終的一步。歐氏的公理化在某些方面并不能滿足現(xiàn)代絕對的公理化對嚴格性的要求，當然這不是主要的方面。最本質(zhì)的是某些無疑是經(jīng)驗的學科，如力學和熱力學，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的處理。然而所有這些都很難超出Euclid的程序。我們的經(jīng)典理論物理，Newton原理，它的文字形式和最重要的實質(zhì)部分都是很像Euclid的。當然在所有這些例子中，提到的公設(shè)都是以支持這些定理的物理考察、實驗論證作為后盾的。但是人們可以論證：在幾何學獲得兩干多年的穩(wěn)定和權(quán)威之前(這種權(quán)威是理論物理的現(xiàn)代結(jié)構(gòu)所缺乏的)，特別從古代的觀點來看，提出一種類似于Euclid的解釋是可能的.
盡管自Euclid以來，在使幾何學與經(jīng)驗脫離方面已經(jīng)逐步地取得了進展，但是哪怕在今天，它也決沒有變得十分完備。非歐幾何學的討論提供了這方面的一個好的說明。它也對數(shù)學思想的矛盾狀態(tài)提供了一種說明，盡管這種討論大部分發(fā)生在高度抽象的水平上，它所處理的是歐氏“第五公設(shè)”是否為其他公設(shè)的推論的純粹邏輯;形式上的論戰(zhàn)由Klein的純粹數(shù)學的典范作品所。他證明了一歐氏平面，可以通過形式地重新定義某些基本概念而成為非歐平面。這里從開始到結(jié)束，都還是由經(jīng)驗促進的。所有歐氏公設(shè)的原始根據(jù)顯然都是對整個無窮平面的概念所作出的非經(jīng)驗的刻畫，為什么只有第五公設(shè)會有問題呢?這種撇開所有數(shù)學的邏輯，堅持必須由經(jīng)驗來確定歐氏幾何是否有意義的思想，確實是由最偉大的數(shù)學家高斯提出的，后來由Bolyai，Lobachevsky，Riemann和Klein把它變得更為抽象。然而我們今天所考察的關(guān)于最初爭論的形式上結(jié)果，不管是經(jīng)驗的或者物理學的，都已有定論。廣義相對論的發(fā)現(xiàn)，迫使人們對關(guān)于幾何學相互關(guān)系的觀點進行修正。這種修正是在全新的背景下進行的。最后，人們就能接觸到一幅完成了的可供比較的圖景。這最后的進展是由這樣一代人完成的，他們看到了歐氏公理方法已被現(xiàn)代公理派邏輯數(shù)學家處理成為完全非經(jīng)驗的和抽象的。這兩種表面上似乎是沖突的態(tài)度，完美地合并成一種數(shù)學思想;因此，Hilbert在公理幾何學和廣義相對論方面都作出了重要的貢獻。第二個例子是微積分，或者說是由它生成的數(shù)學分析。微積分是近代數(shù)學的最早的成果，對它的重要性，作任何估價都很難認為是過高的。盡管我認為它的確定比現(xiàn)代數(shù)學發(fā)端中的任何其他事物具有更多的歧義性，但是數(shù)學分析的系統(tǒng)，它的邏輯展開仍然是精確思維方面最大的技術(shù)上的進步。
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