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數(shù)學(xué)極限思想的應(yīng)用論文
極限是高等數(shù)學(xué)最基本的概念之一，極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種很重要的數(shù)學(xué)思想，是用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)極限思想，本文從極限的定義、極限思想的價值、教學(xué)中如何滲透極限思想幾個方面進(jìn)行了簡要論述。
1、極限的概念
1.1數(shù)列極限：設(shè) 為一個數(shù)列，a為一常數(shù)，若 ，總存在一個正整數(shù)N，使得當(dāng) 時，有 ，稱a是數(shù)列 的極限。
1.2函數(shù)極限：函數(shù) 在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有定義，A為常數(shù)，若 ，總存在一個正數(shù) ，使得當(dāng) 時，有 ，稱A是當(dāng)x趨向于a時函數(shù) 的極限。
出于不同需要，還引進(jìn)了不同意義下的極限概念，比如在集論中引進(jìn)了集列的上、下極限的概念，在無窮級數(shù)論中引進(jìn)級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及在函數(shù)逼近論中引進(jìn)了一致逼近、平均逼近等的極限概念.無論怎樣定義，本質(zhì)都是一樣的，都是從有限觀念發(fā)展到無限觀念的過程。
2、極限思想的價值
極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的關(guān)系，通過極限思想，我們可以從有限來認(rèn)識無限，以直線近似代替曲線，以不變認(rèn)識變化，從量變認(rèn)識質(zhì)變。極限思想具有創(chuàng)新作用，它廣泛用于微分方程、積分方程、函數(shù)論、概率極限理論、微分幾何、泛函分析、函數(shù)逼近論、計算數(shù)學(xué)、力學(xué)等領(lǐng)域。
生活中的例子：一張餅，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，……這樣，這張餅?zāi)艹酝陠?顯然吃不完，餅越來越小，但還是有的。只能說，這張餅的極限為零，但絕不是零。這就是一種極限思想的具體寫照。
極限思想十分重要，貫穿整個數(shù)學(xué)體系，恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用極限思想可以將一些問題簡化，學(xué)生靈活運(yùn)用極限思想意義重大。
3、將極限思想滲透到課堂教學(xué)中
3.1課堂上介紹一些體現(xiàn)極限思想的典故
哲學(xué)家莊周在《莊子天下篇》中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，將木棰長度的變化看作為一個無限的過程中去研究，古代數(shù)學(xué)家劉徽割圓術(shù)中“割之彌細(xì)，所失弦少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”也體現(xiàn)了極限思想。通過這些有趣的小故事，讓學(xué)生從中體驗(yàn)和感受極限思想的妙處，激發(fā)興趣。
3.2講授新知識時滲透極限思想
在教學(xué)中，講授新知識的同時體現(xiàn)極限思想，比如求曲線的切線斜率、圓面積、變速運(yùn)動物體的瞬時速度、曲邊梯形面積、曲頂柱體的體積等都是通過極限思想得以引入課題并解決問題的，還有空間集合體中圓柱、圓錐之間相互轉(zhuǎn)化，圓錐是圓柱的上底逐漸縮小的一種極限狀態(tài)，體現(xiàn)了一種動態(tài)的極限思想。
3.3體現(xiàn)極限思想的數(shù)學(xué)概念
高等數(shù)學(xué)中的許多概念都是利用極限來描述的，體現(xiàn)極限思想的數(shù)學(xué)概念比比皆是，下面就列舉幾個：
(1)函數(shù)連續(xù)的概念中用到極限式：
(2)導(dǎo)數(shù)的概念中有極限式：
(3)定積分的概念也是通過分劃、取近似、求和、取極限得到的：
(4)無窮區(qū)間上的廣義積分的定義也是通過有限區(qū)間的定積分取極限得到的：
(5)級數(shù)的收斂性也是用極限式定義的：若級數(shù) 的部分和數(shù)列極限存在，即 ，稱級數(shù)收斂。
(6)無窮小的定義也是用極限來描述的：若有 ，稱 為此變化過程中的無窮小。
(7)二元函數(shù) 在有界閉區(qū)域D上的二重積分定義也用到了極限，
(8)二元函數(shù) 在曲線L上的第一型曲線積分也是用極限定義的：
(9)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)也是用極限來定義的，
關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)為： ，關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)類似。
4、解決問題時利用極限思想
高等數(shù)學(xué)中的許多問題都是通過極限的思想方法來解決的，下面簡單的舉兩個例子。
(1)如何求平面上曲邊梯形的面積?
通過極限思想方法，利用無限分割，以直代曲、用無數(shù)個小矩形面積無限逼近曲邊梯形的面積通過取極限最終來解決這個問題;
(2)如何求圓面積?
我們可以設(shè)定情境，利用極限思想方法，通過圓內(nèi)接正多邊形，無限增加內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，利用內(nèi)接正多邊形的面積無限逼近圓面積的方法來解決的;
物體的瞬時速度、平面曲線的弧長、曲頂柱體的體積等問題都是利用極限思想方法解決的。教師在教學(xué)中恰當(dāng)選取問題，利用極限思想解決問題，教學(xué)效果事半功倍，提高學(xué)生用極限思想方法解決相關(guān)問題的能力。
結(jié)束語
綜上所述，極限思想是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)，貫穿整個高數(shù)體系，在教學(xué)中教師要有意識的將極限思想滲入，通過恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ寣W(xué)生理解極限的概念和思想方法，讓學(xué)生體會極限思想的妙處，體會“以直代曲、化零為整、化圓為方、以不變代變、以有限找無限”等的極限思想，提高學(xué)生應(yīng)用極限思想方法解決問題的能力。
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