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淺談數(shù)學(xué)正弦定理、余弦定理的應(yīng)用
教學(xué)目標(biāo) 知識目標(biāo)：
(1)學(xué)生通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦、余弦定理的內(nèi)容及其證明方法;會運用正、余弦定理與三角形內(nèi)角和定理，面積公式解斜三角形的兩類基本問題。
(2)學(xué)生學(xué)會分析問題，合理選用定理解決三角形綜合問題。
能力目標(biāo)：
培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力，培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思維能力。
情感目標(biāo)：
通過生活實例探究回顧三角函數(shù)、正余弦定理，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，并應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，在教學(xué)過程中激發(fā)學(xué)生的探索精神。
教學(xué)方法 探究式教學(xué)、講練結(jié)合
重點難點 1、正、余弦定理的對于解解三角形的合理選擇;
2、正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運用。
教學(xué)策略 1、重視多種教學(xué)方法有效整合;
2、重視提出問題、解決問題策略的指導(dǎo)。
3、重視加強前后知識的密切聯(lián)系。
4、重視加強數(shù)學(xué)實踐能力的培養(yǎng)。
5、注意避免過于繁瑣的形式化訓(xùn)練
6、教學(xué)過程體現(xiàn)“實踐→認(rèn)識→實踐”。
設(shè)計意圖：
學(xué)生通過必修5的學(xué)習(xí)，對正弦定理、余弦定理的內(nèi)容已經(jīng)了解，但對于如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化從而解決三角形綜合問題，學(xué)生還需通過復(fù)習(xí)提點有待進一步理解和掌握。作為復(fù)習(xí)課一方面要將本章知識作一個梳理，另一方面要通過整理歸納幫助學(xué)生學(xué)會分析問題，合理選用并熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形綜合問題和實際應(yīng)用問題。
數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深數(shù)學(xué)知識的理解和掌握。雖然是復(fù)習(xí)課，但我們不能一味的講題，在教學(xué)中應(yīng)體現(xiàn)以下教學(xué)思想：
⑴重視教學(xué)各環(huán)節(jié)的合理安排：
在生活實踐中提出問題，再引導(dǎo)學(xué)生帶著問題對新知進行探究，然后引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知識與方法，引出課題。激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)新知的欲望，使學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)呈一個螺旋上升的狀態(tài)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。
⑵重視多種教學(xué)方法有效整合，以講練結(jié)合法、分析引導(dǎo)法、變式訓(xùn)練法等多種方法貫穿整個教學(xué)過程。
�、侵匾曁岢鰡栴}、解決問題策略的指導(dǎo)。
�、戎匾暭訌娗昂笾R的密切聯(lián)系。對于新知識的探究,必須增加足夠的預(yù)備知識,做好銜接。要對學(xué)生已有的知識進行分析、整理和篩選，把對學(xué)生后繼學(xué)習(xí)中有需要的知識選擇出來，在新知識介紹之前進行復(fù)習(xí)。
�、勺⒁獗苊膺^于繁瑣的形式化訓(xùn)練。從數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)上看解三角形內(nèi)容有不少高度技巧化、形式化的問題，我們在教學(xué)過程中應(yīng)該注意盡量避免這一類問題的出現(xiàn)。
二、實施教學(xué)過程
(一) 創(chuàng)設(shè)情境、揭示提出課題
引例：要測量南北兩岸A、B兩個建筑物之間的距離，在南岸選取相距A點 km的C點，并通過經(jīng)緯儀測的 ，你能計算出A、B之間的距離嗎?若人在南岸要測量對岸B、D兩個建筑物之間的距離，該如何進行?
(二) 復(fù)習(xí)回顧、知識梳理
1. 正弦定理：
正弦定理的變形：
(1)
(2) ; ;
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題.
(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角;
(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.(從而進一步求出其他的邊和角)
2.余弦定理：
a2=b2+c2-2bccosA;
b2=c2+a2-2cacosB;
c2=a2+b2-2abcosC.
cosA= ;
cosB= ;
cosC=.
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：
(1)已知三邊，求三個角;
(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.
3.三角形面積公式：
(三) 自主檢測、知識鞏固
1. ;
2.
3.
(四) 典例導(dǎo)航、知識拓展
【例1】 △ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，如果a2=b(b+c)，求證：A=2B.
剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.
證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b(b+c)中，得sin2A=sinB(sinB+sinC) sin2A-sin2B=sinBsinC
因為A、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B，即A=2B.
評述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解.
思考討論：該題若用余弦定理如何解決?
【例2】已知a、b、c分別是△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊，
(1) 若△ABC的面積為，c=2,A=600,求邊a,b的值;
(2) 若a=ccosB,且b=csinA,試判斷△ABC的形狀。
(五) 變式訓(xùn)練、歸納整理
【例3】已知a、b、c分別是△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊，若bcosC=(2a-c)cosB
(1) 求角B
(2) 設(shè),求a+c的值。
剖析：同樣知道三角形中邊角關(guān)系，利用正余弦定理邊化角或角化邊，從而解決問題，此題所變化的是與向量相結(jié)合，利用向量的模與數(shù)量積反映三角形的邊角關(guān)系，把本質(zhì)看清了，問題與例2類似解決。
此題分析后由學(xué)生自己作答，利用實物投影集體評價，再做歸納整理。
(解答略)
課時小結(jié)(由學(xué)生歸納總結(jié)，教師補充)
1. 解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理
2. 根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角;②化角為邊.并常用正余弦定理實施邊角轉(zhuǎn)化。
3. 用正余弦定理解三角形問題可適當(dāng)應(yīng)用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形的邊長。
4. 應(yīng)用問題可利用圖形將題意理解清楚，然后用數(shù)學(xué)模型解決問題。
5. 正余弦定理與三角函數(shù)、向量、不等式等知識相結(jié)合，綜合運用解決實際問題。
課后作業(yè)：
材料三級跳
創(chuàng)設(shè)情境，提出實際應(yīng)用問題，揭示課題
學(xué)生在探究問題時發(fā)現(xiàn)是解三角形問題，通過問答將知識作一梳理。
學(xué)生通過課前預(yù)熱1.2.3.的快速作答，對正余弦定理的基本運用有了一定的回顧
學(xué)生探討
知識的關(guān)聯(lián)與拓展
正余弦定理與三角形內(nèi)角和定理，面積公式的綜合運用對學(xué)生來說也是難點，尤其是根據(jù)條件判斷三角形形狀。此處列舉例2讓學(xué)生進一步體會如何選擇定理進行邊角互化。
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