淺論從虛位移原理到拉格朗日方程

　　【摘要】由虛位移原理出發(fā)結(jié)合達朗貝爾原理得到動力學(xué)普遍方程，再有這個普遍方程得到拉格朗日方程的推導(dǎo)過程。容易看出理論力學(xué)比經(jīng)典力學(xué)有更深的理論基礎(chǔ)和靈活性。尤其是廣義坐標、廣義力的引入，以能量為基本概念的動力學(xué)方程比牛頓第二定律更具有理論優(yōu)勢。通過方程的應(yīng)用實例可揭示出這兩個方程在分析力學(xué)中具有非常重要的理論價值和應(yīng)用價值。

　　【關(guān)鍵詞】廣義坐標 虛位移 拉格朗日方程 廣義力

　　分析力學(xué)是理論力學(xué)的重要組成部分，它給出了與牛頓第二定律等價的力學(xué)基本方程，提供了解決力學(xué)問題的不同方法，拉格朗日方程也是分析力學(xué)中一個重要的基本方程。拉格朗日方程是在動力學(xué)的普遍方程(達朗伯―拉格朗日方程)的基礎(chǔ)上，將各點的坐標 、及其虛位移 變換為廣義坐標 及其變分 后得到的。為了加深對拉格朗日方程的認識和理解，以便能更好地運用它來分析和解決問題，下面將達朗伯原理和虛位移原理結(jié)合起來推導(dǎo)出動力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程。

　　一、從虛位移原理動力學(xué)普遍方程

　　設(shè)由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，由達朗伯原理知，在質(zhì)點系運動的任一瞬時，任一質(zhì)點 上作用的主動力 ，約束反力 及其慣性力 三者構(gòu)成形式上的平衡力系，即：

　　(1)

　　對該質(zhì)點系應(yīng)用虛位移原理，為此，取質(zhì)點系的任何一組虛位移 ，則得：

　　(2)

　　設(shè)該質(zhì)點受的是理想約束，則有 ，因此 即：

　　(3)

　　(3)式是通過達朗伯虛加慣性力手段和虛位移原理相結(jié)合而得到的結(jié)果，稱為動力學(xué)普遍方程，也稱達朗伯――拉格朗日方程。

　　二、從動力學(xué)普遍方程到拉格朗日方程

　　由分析力學(xué)，可設(shè)主動力為 ，廣義力

　　由動力學(xué)普遍方程，得

　　(4)

　　僅為時間和廣義坐標的函數(shù)。

　　第一個拉格朗日關(guān)系式

　　對任意一個廣義坐標 qj 求偏導(dǎo)數(shù)

　　如果將位矢對任意一個廣義坐標 qj 求偏導(dǎo)數(shù)，再對時間求

　　導(dǎo)數(shù)，則得到

　　第二個拉格朗日關(guān)系式

　　(5)

　　在這里， 為廣義坐標， 則為廣義動量，此即拉格朗日方程，或稱為第二類拉格朗日方程。

　　如果作用在系統(tǒng)上的主動力都是有勢力，根據(jù)有勢力的廣義主動力

　　引入拉格朗日函數(shù)L=T-V， T是動能，V是勢能，得到主動力為有勢力的拉格朗日方程

　　(6)

　　動力學(xué)普遍方程中系統(tǒng)的運動是直角坐標來描述的，而拉格朗日方程是用廣義坐標來描述系統(tǒng)的運動，兩者都可用來解決非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題，用分析的方法解決動力學(xué)問題，因此是分析力學(xué)的基礎(chǔ)。對于解決復(fù)雜的非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題，應(yīng)用拉格朗日方程往往要比用動力學(xué)普遍方程簡便得多。

　　三、應(yīng)用舉例

　　為了說明分析力學(xué)在解決力學(xué)問題靈活、方便且科學(xué)上的嚴謹?shù)葍?yōu)勢，我們可通過以下面例題的求解來彰顯。

　　如圖1所示，試用拉格朗日方程求單擺的微振動方程和周期。

　　解：設(shè)單擺的擺長為 ，擺錘質(zhì)量為m，取 為廣義坐標，則拉格朗日函數(shù)為：

　　其中取懸點o為零勢能點。

　　代入到拉格朗日方程 中得：

　　而 ，則 ，此即為單擺的微振動方程。于是角頻率

　　所以周期 。

　　為了節(jié)省時間，在解題過程中，并沒有用大家所熟悉的牛頓第二定律與拉格朗日方程對比來求解。但仍能明顯的感覺到，用分析力學(xué)解題比用牛頓第二定律的方法簡單靈活的多。

　　四、結(jié)語

　　在分析力學(xué)中，關(guān)于力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)規(guī)律有兩種不同的表述，其中之一便是拉格朗日表述，在這種表述中，就是用拉格朗日方程來描述系統(tǒng)的運動規(guī)律。關(guān)鍵的問題在于對方程的物理意義的深入理解和如何應(yīng)用拉格朗日方程解題。在學(xué)習(xí)過程中，有些學(xué)生只注意解題技巧而忽視了對方程的物理意義往往這是不可缺少的關(guān)鍵一步。

　　拉格朗日方程的基本特色在于：(1)由于采用廣義坐標作基本變量，微分方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度數(shù)目相同，微分方程的數(shù)目是最少的。(2)由于微分方程中不包含約束反力，以及所使用的函數(shù)(動能函數(shù)、勢能函數(shù)等)多為標量函數(shù)，這和牛頓的力學(xué)方程相比較，在解決質(zhì)點系動力學(xué)問題時有很大的優(yōu)越性。(3)第二類拉格朗日方程是力學(xué)系統(tǒng)在具有最一般意義的廣義坐標描述下保持形式不變的動力學(xué)方程，因此利用該方程來研究力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)具有極大的普遍性。因此，可以說，拉格朗日方程是力學(xué)中一個非常重要的理論工具。

　　參考文獻：

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