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基于正交頻分復用的線性最小均方誤差信道估計改進算法
摘要：傳統(tǒng)的線性最小均方誤差(LMMSE)信道估計要求已知信道的統(tǒng)計特性，而實際應用中無線信道的統(tǒng)計特性往往是不可知的。針對無線信道的不確定性，根據時域信道上能量分布的稀疏性特點，在最小二乘(LS)算法的基礎上提出了一種改進的LMMSE信道估計算法。該算法從當前信道置信度較高的頻率響應出發(fā)，把相鄰子載波信道估計誤差的比值作為信道響應的加權系數，然后通過加權平均的方法計算出多徑信道下的信道響應。該算法避免了繁瑣的矩陣求逆與分解運算，能夠有效降低算法復雜度。實驗結果表明，所提算法總體性能優(yōu)于LS算法及經過奇異值分解的線性最小均方誤差(SVDLMMSE)估計算法，且其誤碼率接近于傳統(tǒng)的LMMSE算法。
關鍵詞：正交頻分復用;無線信道;均方誤差;誤碼率;信道估計
引言
正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing， OFDM)是現代通信系統(tǒng)多載波調制中的一項關鍵技術。該技術的核心思想是將傳輸信道分解成若干個正交子信道，使高速傳輸數據流轉換成并行的低速子數據流，經逆傅里葉變換后分別在每個子信道上進行傳輸。在多徑條件下使用OFDM技術可以增加系統(tǒng)的魯棒性，使其能夠較好地對抗無線信道的頻率選擇性衰落和窄帶干擾，并有效提升系統(tǒng)的頻帶利用率。為保證信號傳輸的可靠性，OFDM系統(tǒng)對子載波間的正交性要求非常嚴格，而信道估計則是其中的一項關鍵技術。通過跟蹤接收端信道頻率響應的變化，該技術可以對接收到的信號進行恢復和校正，以減小信道多徑衰落對系統(tǒng)的影響，因而其精確程度將直接影響OFDM系統(tǒng)的總體性能[1]。常見的信道估計算法一般可分為3類：盲信道估計、半盲信道估計和非盲信道估計。盲信道估計具有較好的頻帶利用率，且不需要輔助信息，但其算法復雜度高、收斂速度慢且精度較低。半盲信道估計算法是基于盲信道估計的一種優(yōu)化，它雖然克服了盲信道估計算法復雜度高、收斂速度慢等的缺點，但其算法精確度相對較低，因而在實際應用中受到一定的限制。而非盲信道估計則是一種基于導頻的信道估計算法，該類算法運算復雜度較低，且具有較高的精確度和頻帶利用率，因而逐漸成為人們的研究熱點。
現階段對于非盲信道估計算法的研究主要集中在低秩算法和自適應低秩算法。文獻[2]提出了一種低復雜度的線性最小均方誤差(Linear Minimum Mean Square Error， LMMSE)信道估計算法，該算法僅僅考慮了自相關矩陣對角線上的一些重要信息，以犧牲系統(tǒng)總體性能為代價來降低算法的復雜度。文獻[3]利用托普利茲矩陣來計算信道的自相關矩陣及其逆矩陣，但該算法在求解托普利茲矩陣的自相關矩陣及其逆矩陣的計算過程中復雜度較高，具體實現起來較為困難。文獻[4]提出了一種采用循環(huán)梳狀導頻結構的算法來提高信道估計的總體性能，但該算法的整體效率相對較低。文獻[5]利用雙對角矩陣算法來降低運算的復雜度，該算法雖然避免了逆矩陣的求解，但需要預先知道信道統(tǒng)計特性，而對于無線信道而言，其統(tǒng)計特性往往是不確定的。
針對上述問題，文中提出了一種改進的低復雜度LMMSE信道估計算法，該算法可在信道特性未知的情況下進行有效的信道估計。算法首先對信道的時域能量進行分析，根據無線信道的稀疏特性[6]，選擇當前信道置信度較高的頻率響應作為預估計值，以相鄰子載波信道估計誤差之比值作為估計算法的加權系數，然后通過加權平均的方法估計子載波的信道響應，進而完成對整個系統(tǒng)的信道估計。仿真實驗結果表明：該算法總體性能優(yōu)于最小二乘(Least Squares， LS)算法及經過奇異值分解線性最小均方誤差(Singular Value DecompositionLinear Minimum Mean Square Error， SVDLMMSE)估計算法，且精確度逼近于傳統(tǒng)的LMMSE估計算法。
一、OFDM系統(tǒng)模型
圖1所示為OFDM系統(tǒng)收發(fā)機模型框圖。OFDM發(fā)射機將信息比特流映射成一個相移鍵控(Phase Shift Keying， PSK)或幅度正交調制(Quadrature Amplitude Modulation， QAM)序列，再把符號序列轉換成N個并行的符號流，最后將其分別調制到N個不同的子載波上進行傳輸。
圖片
圖1OFDM系統(tǒng)原理框圖
令Xl(k)表示第k個子載波上的第l個發(fā)送符號(其中k=0，1，…，N-1，l=0，1，…，∞)，由于經過了串并轉換，所以N個符號的傳輸時間擴展為NTs，因此單個OFDM符號的持續(xù)時間Tsym=NTs。令Ψl，k(t)表示第k個子載波上的第l個OFDM符號[7]，即
Ψl，k(t)=
ej2πfk(t-lTsym)，0 0，其他 (1)
則其對應的基帶信號為：
xl(t)=∑∞l=0∑N-1k=0Xl[k]ej2πfk(t-lTsym)(2
在t=lTsym+nTs時刻(Ts=Tsym/N， fk=k/Tsym)，對式(2)中的基帶信號xl(t)進行采樣，可得到相應的離散時間OFDM信號，即：
xl(n)=∑N-1k=0Xl[k]ej2πknN; n=0，1，…，N-1(3
離散時間信號xl(n)經過快速傅里葉逆變換(Inverse Fast Fourier Transform， IFFT)后加入循環(huán)前綴(Cyclic Prefix， CP)，用以消除符號間干擾(Inter Symbol Interference， ISI)，且CP長度大于信道多徑時延。經過輸出端廣義平穩(wěn)非相關散射信道后，在接收端去除該信號的CP并進行FFT，最后得到解調信號[8]： Y(k)=X(k)·H(k)+σ(k); 0≤k≤N-1(4)
其中：Y(k)為接收端解調的第k個子載波符號，H(k)為接收端第k個子載波上的頻域響應，σ(k)是均值為0、方差為σ2的高斯噪聲。由于信號是在無線信道中傳輸會產生一定程度的畸變，為了對變換后的信號進行校正和恢復，通常需要對接收到的信號進行信道估計，下面介紹幾種傳統(tǒng)的信道估計方法。
二、傳統(tǒng)信道估計算法
2.1LS信道估計
文獻[9]采用了一種最小二乘(LS)信道估計算法，該算法可在信道特性未知的情況下，根據發(fā)送端已知的導頻信號X和接收端接收到的信號Y計算導頻位置處的信道特性，并選擇適當的插值算法來獲得完整的信道響應。LS信道估計準則如下：
H^ls(k)=X(k)-1Y(k)=H(k)+σ(k)X-1(k)(5)
其中：H^ls(k)為LS信道估計的估計值，H(k)為信道的頻率響應，σ(k)為高斯白噪聲。LS算法的均方誤差(Mean Square Error， MSE)可表示為：
MSE=βSNR(6)
其中，β為調制常數，該系數的取值跟信道特性有關。輸入信噪比(SignaltoNoise Ratio， SNR)為：
SNR=E{X2}σ2(k) (7 )
由式(5)、(6)、(7)可知，由于LS估計算法不需要知道信道先驗知識，因而噪聲σ(k)對信道估計的影響較大，所造成的誤碼率(Bit Error Ratio， BER)和均方誤差(MSE)較高。
2.2LMMSE信道估計
為了解決LS算法精確度較低的問題，文獻[10]提出了一種性能更好的最小均方誤差(Minimum MeanSquared Error， MMSE)信道估計算法。由式(8)可以看出，該算法考慮了噪聲對信道造成的影響，因而其精確度比LS算法有較大提高。
H^mmse(k)=Rhh[Rhh+σ2n(XXT)-1]-1H^ls(k)(8
由于MMSE信道估計算法考慮了噪聲的影響，所以該算法能夠獲得較低的誤碼率與較高精確度。但是，隨著算法精確度的提升，其復雜度也相應增加，在實際應用中受到了一定的限制。
文獻[11]提出了一種線性最小均方誤差算法(LMMSE)。該算法將式(8)中的(XXT)-1替換成期望值E[(XXT)-1]，得到相對簡化的LMMSE信道估計準則：
H^lmmse(k)=RhhRhh+βSNR-1H^ls(k)(9)
其中，β是調制類型常數，若信道采用16QAM調制，則β取17/9; 若采用QPSK調制，則β取1。LMMSE的協方差矩陣σ2可表示為：
σ2=Rhh-RhhRhh+βSNR-1H^ls (10
LMMSE信道估計的均方誤差(MSE)為：
MSElmmse=1Ntr{σ2}(11)
其中，tr(·)是跡算子，其所有元素都在矩陣的對角線上。式(10)中，信道的相關性β與SNR可以設為固定值，在求解矩陣Rhh+βSNR的逆運算時只需要計算一次，因而減小了算法的復雜度。但隨著SNR的增加，逆矩陣的求解也將變得更為復雜。因此，LMMSE信道估計的主要缺點仍然在于復雜的矩陣求解運算。
三、改進的LMMSE信道估計算法
3.1信道的時域特性
本文算法是在加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise， AWGN)信道下基于導頻的OFDM信道估計。假設無線信道傳播環(huán)境服從非線性散射分量(NonLineOf Sight， NLOS)，接收端信號概率密度函數服從瑞利分布。設第k個OFDM符號在時間間隔Ts內的離散信道脈沖響應(Channel Impulse Response， CIR)[12]為：
h(n)=∑Ll=1αk，lδ(n-τl); n=0，1，…，N-1(12)
其中：αk，l為第l條路徑在第k個OFDM符號內的復增益，且其隨時間變化而變化; τl表示離散路徑l的歸一化時延; L是離散路徑的個數; δ(n)為Kronecker函數。假定信道離散路徑之間彼此獨立，則經過AWGN信道之后的信道其時域表達式可表示為：
h^ls[n]=
h[n]+ω[n]，0≤n≤L-1
ω[n]，L≤n≤N-1 (13)
其中ω[k]表示信道噪聲分量，可表示為ω[n]=IDFT{σ[k]X[k]}。
對于AWGN的信道能量可用時域信道響應的自相關函數表示：
E[h^h^H]=diag{2h(0)，2h(1)，…，2h(N)}(14)
其中，2h=σ2h+βSNR，diag{2h(0)，2h(1)，…，2h(N)}為對角矩陣，其對角元素即為各路徑的平均功率。
傳統(tǒng)的基于導頻信道估計方法均假設信道是稠密多徑的，利用大量的導頻來獲取信道狀態(tài)信息的研究，這樣做的結果就是會導致頻譜資源利用率低，且其信道噪聲和殘余信道間干擾(Inter Channel Interference， ICI)都會在一定程度上影響估計算法的MSE，因而對于時變無線信道的真實特性我們很難把握。針對這樣的問題，在對AWGN的時域特性進行了研究的同時，發(fā)現信道的能量并不是均勻地分布在這L條信道路徑中，而是集中在里面的某N條路徑上[13]。如圖2所示，n表示信道中子載波個數，整個信道時域響應h(n)分布較為集中，因此可以將其余路徑上的信道能量視為噪聲方差σ2g，通過加權系數將期望值較高的σ2g分配到這AWGN信道上。于是AWGN信道的能量可表示為：
E[h^gh^Hg]=diag{2h(0)+σ2g，2h(1)+σ2g，…， 2h(N)+σ2g，σ2g，…，σ2g}(15)
其中：2h(N)為第N徑信道的能量，σ2g為信道的噪聲方差。
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圖2信道的時域特性
3.2改進的LMMSE算法
針對信道的稀疏特性，本文算法通過對信道的時域能量進行分析，并與加權系數求平均相結合的方法來計算信道子載波的頻域響應。圖3所示為文中改進的LMMSE估計算法模型。對于傳統(tǒng)的LMMSE而言，信道自相關矩陣Rhh在頻域上的能量主要集中在低頻部分，而在時域上對應的是Rhh矩陣中相關性較高的元素[14]。因此按照式(15)所述信道能量分布的特點，對時域信道前N條路徑上的信道響應進行估計，忽略其他多徑信道上非重要信息的影響，進而更加準確快速的進行信道估計。算法從信道能量觀點出發(fā)，避免了傳統(tǒng)LMMSE信道估計中復雜的矩陣求解及其逆過程的運算等問題。
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圖3采用加權系數LMMSE信道估計模型
設OFDM系統(tǒng)的子載波路徑數為L，符號訓練周期為S。估計算法首先對第N路信號流lN進行初始信道估計及預濾波，得到信道響應[N]，然后將相鄰子載波的信道估計誤差之比作為信道響應的加權系數K[s]，然后對[N]進行加權平均得到估計的子信道響應值 h^[N]。按照上述方法依次對前N路子信道遞推，估計出前N路子信道中所有子載波的信道頻率響應，進而完成信道估計。
具體的加權算法描述如下：
1)采用算術平均的方法計算出置信度較高的子載波信道頻域響應h^[N]：
h^[N]=∑Ss=1[s，N]/S(16
2)根據無線信道緩慢變化的特性，以當前信道響應h^[N]作為相鄰子載波在N-1處的信道響應實際值，并計算其估計誤差，得到符號加權系數K：
K[s，N-1]=δ2[s，N-1]∑Ss=1δ2[s，N-1](17)
式中，δ2[s，N-1]為相鄰子載波間的估計誤差：
δ2[s，N-1]=[s，N-1]-h^[N]2(18
3)計算N-1處子載波的信道響應估計值h^[N-1]：
h^[N-1]=∑Ss=1K[s，N-1][s，N-1](19
同理，由式(17)～(19)可計算出子載波在N-2處的信道響應h^[N-2]。
4)重復步驟2)～3)，依次計算出子載波在N-2，N-3，…，0處的信道響應，直到獲得所有子載波的信道響應。
5)采用加權后的信道頻率響應估計準則可寫為H^glmmse[N]=Kn·h^lmmse[N]的形式。而當h^lmmse[N]的均方誤差最小時可用一個對角矩陣來表示，則此時信道的頻域特性可表示為：
H^glmmse[N]=Kn·h^lmmse[N]=Kn·
diag2h(0)2h(0)+βSNR，2h(1)2h(1)+βSNR，…，2h(N)2h(N)+βSNR·h^ls(20
因此，改進后的LMMSE的均方誤差(MSE)為：
MSElmmse=1N tr{E[(h-h^glmmse)×(h-h^glmmse)H]}=
1N∑Ni=0tr{diag[2h(i)]} (21
由于文中采用的是高斯多徑信道，所以不同路徑的信道衰落之間可以認為是互不相關的�？紤]到無線信道的時變性和散射性，信道估計過程中必須根據實際的通信環(huán)境選取適當的載波參考位置。在算法進行預濾波及初始信道估計時，子載波位置N的選擇尤為重要，其位置變化將直接影響信道估計的性能： 如果N值過大，則進行信道估計時噪聲能量將會顯著增加; 如果N值偏小則可能會過濾掉信道中的有效多徑分量，從而產生“平底”效應。
3.3改進LMMSE算法復雜度分析
對于式(20)的信道頻域響應準則，可將其寫成向量累加的形式：
H^glmmse[N]=Kn·∑Ln=0∑Ns=02h(s)2h(s)+β/SNR·h^ls=
∑Ln=0KnFnh^ls(22)
其中：Kn表示加權系數矩陣K的一個行向量，Fn=2h(s)2h(s)+β/SNR表示一個常數。將行向量Kn與常數項Fn相乘需要N次乘法運算，KnFn再與h^ls列向量相乘需要N次乘法運算，則計算一個Fn需要的乘法運算次數為2N，那么L個Fn共需要次乘法為2LN。由于Kn與Fn相乘無需加法運算，KnFn與h^ls相乘需要N次加法，L個Fn共需要LN次加法。
表1所示為LS、LMMSE、SVDLMMSE，以及本文提出的改進LMMSE算法的乘法、加法的運算次數以及算法的運算時間。相對于傳統(tǒng)的LMMSE以及SVDLMMSE而言，本文提出的改進LMMSE算法在乘法運算及加法運算次數上有所降低，而且在運算時間中也相對較少。數據表明：相比前兩者而言，本文所提出的改進LMMSE算法總體復雜度較小。
表格(有表名)
表1算法計算復雜度比較
算法乘法次數加法次數運算時間/s
LSN035.3209
LMMSE4N3+18N-124N3+18N-188.5014
SVDLMMSE3LN2LN-L-N62.4173
改進LMMSE2LNLN55.5429
四、仿真結果及分析
對文中所提算法在Matlab 2007平臺上進行仿真，使用誤比特率(BER)和均方誤差(MSE)來衡量信道估計的性能。仿真實驗采用16QAM高效調制方法，使用基于塊狀導頻結構的OFDM系統(tǒng)，信道類型為高斯多徑信道。假設系統(tǒng)同步，每個OFDM符號子載波個數為256，子載波間隔取 7.815kHz，循環(huán)前綴長度為16，多徑數為5，信號采樣頻率為1024Hz，最大多普勒頻率為2GHz。
圖4、圖5所示為LS算法、LMMSE算法、SVDLMMSE，以及文中所提改進的LMMSE算法在不同信噪比(SNR)情況下的均方誤差(MSE)和誤碼率(BER)對比分析。由圖4可知，隨著SNR的增加，文中所提改進算法的MSE明顯優(yōu)于LS算法和經過奇異值分解的SVDLMMSE算法; 而且在信道特性未知的條件下，改進算法的MSE非常逼近理想條件下的LMMSE算法(該算法需要預先知道信道特性)。從圖5中可以看出，在信噪比大于10dB的時候，相同SNR條件下文中所提改進LMMSE算法的BER要明顯低于LS算法和經奇異值分解的SVDLMMSE算法。由于文中所提算法采用加權系數估計的方法，可以實時地對信道頻率響應的變化5結語
本文針對非盲信道估計算法在實際應用中的一些不足，提出了一種改進的LMMSE信道估計算法。該算法通過對信道中子載波時域部分頻率響應進行加權平均，使其在信道統(tǒng)計特性未知的條件下表現出良好的估計性能。由于系統(tǒng)中每個OFDM符號在訓練周期內加權系數只與當前子載波之間的誤差δ有關，因此無需考慮無線信道中多徑時延帶來的影響。仿真實驗結果表明，本文所提改進的LMMSE算法整體性能明顯優(yōu)于LS算法和奇異值分解SVDLMMSE算法，精確度逼近于理論上最優(yōu)的LMMSE信道估計。由于需要兼顧信道估計算法的復雜度與精確度等問題，在不增加系統(tǒng)復雜度的前提下，能否更加有效地利用導頻方案來提升信道估計系統(tǒng)的性能，將是下一步研究的重點。
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