數(shù)學(xué)天才萊布尼茲的故事

　　萊布尼茲是17、18世紀(jì)之交德國(guó)最重要的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，一個(gè)舉世罕見(jiàn)的科學(xué)天才。他博覽群書(shū)，涉獵百科，對(duì)豐富人類(lèi)的科學(xué)知識(shí)寶庫(kù)做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。不知道大家對(duì)他的了解有多少呢？知道他的故事和個(gè)人成就嗎？下面是小編為大家收集的數(shù)學(xué)天才萊布尼茲的故事，希望對(duì)大家有所幫助。

　　數(shù)學(xué)天才萊布尼茲的故事

　　一、生平事跡

　　萊布尼茲出生于德國(guó)東部萊比錫的一個(gè)書(shū)香之家，父親是萊比錫大學(xué)的道德哲學(xué)教授，母親出生在一個(gè)教授家庭。萊布尼茲的父親在他年僅6歲時(shí)便去世了，給他留下了豐富的藏書(shū)。萊布尼茲因此得以廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學(xué)者的著作，由此而獲得了堅(jiān)實(shí)的文化功底和明確的學(xué)術(shù)目標(biāo)。15歲時(shí)，他進(jìn)了萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，一進(jìn)校便跟上了大學(xué)二年級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的人文學(xué)科的課程，還廣泛閱讀了培根、開(kāi)普勒、伽利略、等人的著作，并對(duì)他們的著述進(jìn)行深入的思考和評(píng)價(jià)。在聽(tīng)了教授講授歐幾里德的《幾何原本》的課程后，萊布尼茲對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。17歲時(shí)他在耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)了短時(shí)期的數(shù)學(xué)，并獲得了哲學(xué)碩士學(xué)位。

　　20歲時(shí)，萊布尼茲轉(zhuǎn)入阿爾特道夫大學(xué)。這一年，他發(fā)表了第一篇數(shù)學(xué)論文《論組合的藝術(shù)》。這是一篇關(guān)于數(shù)理邏輯的文章，其基本思想是出于想把理論的真理性論證歸結(jié)于一種計(jì)算的結(jié)果。這篇論文雖不夠成熟，但卻閃耀著創(chuàng)新的智慧和數(shù)學(xué)才華。萊布尼茲在阿爾特道夫大學(xué)獲得博士學(xué)位后便投身外交界。從1671年開(kāi)始，他利用外交活動(dòng)開(kāi)拓了與外界的廣泛聯(lián)系，尤以通信作為他獲取外界信息、與人進(jìn)行思想交流的一種主要方式。在出訪巴黎時(shí)，萊布尼茲深受帕斯卡事跡的鼓舞，決心鉆研高等數(shù)學(xué)，并研究了笛卡兒、費(fèi)爾馬、帕斯卡等人的著作。1673年，萊布尼茲被推薦為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。此時(shí)，他的興趣已明顯地朝向了數(shù)學(xué)和自然科學(xué)，開(kāi)始了對(duì)無(wú)窮小算法的研究，獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分的基本概念與算法，和牛頓并蒂雙輝共同奠定了微積分學(xué)。1676年，他到漢諾威公爵府擔(dān)任法律顧問(wèn)兼圖書(shū)館館長(zhǎng)。1700年被選為巴黎科學(xué)院院士，促成建立了柏林科學(xué)院并任首任院長(zhǎng)。

　　1716年11月14日，萊布尼茲在漢諾威逝世，終年70歲。

　　二、始創(chuàng)微積分

　　17世紀(jì)下半葉，歐洲科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，由于生產(chǎn)力的提高和社會(huì)各方面的迫切需要，經(jīng)各國(guó)科學(xué)家的努力與歷史的積累，建立在函數(shù)與極限概念基礎(chǔ)上的微積分理論應(yīng)運(yùn)而生了。微積分思想，最早可以追溯到希臘由阿基米德等人提出的計(jì)算面積和體積的方法。1665年牛頓創(chuàng)始了微積分，萊布尼茲在1673~1676年間也發(fā)表了微積分思想的論著。以前，微分和積分作為兩種數(shù)學(xué)運(yùn)算、兩類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，是分別的加以研究的。卡瓦列里、巴羅、沃利斯等人得到了一系列求面積(積分)、求切線斜率(導(dǎo)數(shù))的重要結(jié)果，但這些結(jié)果都是孤立的，不連貫的。只有萊布尼茲和牛頓將積分和微分真正溝通起來(lái)，明確地找到了兩者內(nèi)在的直接聯(lián)系：微分和積分是互逆的兩種運(yùn)算。而這是微積分建立的關(guān)鍵所在。只有確立了這一基本關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分學(xué)。并從對(duì)各種函數(shù)的微分和求積公式中，總結(jié)出共同的算法程序，使微積分方法普遍化，發(fā)展成用符號(hào)表示的微積分運(yùn)算法則。因此，微積分“是牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的”(恩格斯：《自然辯證法》)。

　　然而關(guān)于微積分創(chuàng)立的優(yōu)先權(quán)，數(shù)學(xué)上曾掀起了一場(chǎng)激烈的爭(zhēng)論。實(shí)際上，牛頓在微積分方面的研究雖早于萊布尼茲，但萊布尼茲成果的發(fā)表則早于牛頓。萊布尼茲在1684年10月發(fā)表的《教師學(xué)報(bào)》上的論文，“一種求極大極小的奇妙類(lèi)型的計(jì)算”，在數(shù)學(xué)史上被認(rèn)為是最早發(fā)表的微積分文獻(xiàn)。牛頓在1687年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的第一版和第二版也寫(xiě)道：“十年前在我和最杰出的幾何學(xué)家G、W萊布尼茲的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類(lèi)似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學(xué)家在回信中寫(xiě)道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒(méi)有什么不同，除了他的措詞和符號(hào)而外�！�(但在第三版及以后再版時(shí)，這段話被刪掉了。)因此，后來(lái)人們公認(rèn)牛頓和萊布尼茲是各自獨(dú)立地創(chuàng)建微積分的。牛頓從物理學(xué)出發(fā)，運(yùn)用集合方法研究微積分，其應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣高于萊布尼茲。萊布尼茲則從幾何問(wèn)題出發(fā)，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則，其數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的。萊布尼茲認(rèn)識(shí)到好的數(shù)學(xué)符號(hào)能節(jié)省思維勞動(dòng)，運(yùn)用符號(hào)的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。因此，他發(fā)明了一套適用的符號(hào)系統(tǒng)，如，引入dx表示x的微分，∫表示積分，dnx表示n階微分等等。這些符號(hào)進(jìn)一步促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展。1713年，萊布尼茲發(fā)表了《微積分的歷史和起源》一文，總結(jié)了自己創(chuàng)立微積分學(xué)的思路，說(shuō)明了自己成就的獨(dú)立性。

　　三、高等數(shù)學(xué)上的眾多成就

　　萊布尼茲在數(shù)學(xué)方面的成就是巨大的，他的研究及成果滲透到高等數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域。他的一系列重要數(shù)學(xué)理論的提出，為后來(lái)的數(shù)學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)。

　　萊布尼茲曾討論過(guò)負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)并不存在，共扼復(fù)數(shù)的和是實(shí)數(shù)的結(jié)論。在后來(lái)的研究中，萊布尼茲證明了自己結(jié)論是正確的。他還對(duì)線性方程組進(jìn)行研究，對(duì)消元法從理論上進(jìn)行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。此外，萊布尼茲還創(chuàng)立了符號(hào)邏輯學(xué)的基本概念，發(fā)明了能夠進(jìn)行加、減、乘、除及開(kāi)方運(yùn)算的計(jì)算機(jī)和二進(jìn)制，為計(jì)算機(jī)的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

　　四、中西文化交流之倡導(dǎo)者

　　萊布尼茲對(duì)中國(guó)、的科學(xué)、文化和哲學(xué)思想十分關(guān)注，是最早研究中國(guó)文化和中國(guó)哲學(xué)的德國(guó)人。他向耶 酥會(huì)來(lái)華傳教士格里馬爾迪了解到了許多有關(guān)中國(guó)的情況，包括養(yǎng)蠶紡織、造紙印染、冶金礦產(chǎn)、天文地理、數(shù)學(xué)文字等等，并將這些資料編輯成冊(cè)出版。他認(rèn)為中西相互之間應(yīng)建立一種交流認(rèn)識(shí)的新型關(guān)系。在《中國(guó)近況》一書(shū)的緒論中，萊布尼茲寫(xiě)道：“全人類(lèi)最偉大的文化和最發(fā)達(dá)的文明仿佛今天匯集在我們大陸的兩端，即匯集在歐洲和位于地球另一端的東方的歐洲——中國(guó)。”“中國(guó)這一文明古國(guó)與歐洲相比，面積相當(dāng)，但人口數(shù)量則已超過(guò)�！薄霸谌粘Ｉ�活以及經(jīng)驗(yàn)地應(yīng)付自然的技能方面，我們是不分伯仲的。我們雙方各自都具備通過(guò)相互交流使對(duì)方受益的技能。在思考的縝密和理性的思辯方面，顯然我們要略勝一籌”，但“在時(shí)間哲學(xué)，即在生活與人類(lèi)實(shí)際方面的倫理以及治國(guó)學(xué)說(shuō)方面，我們實(shí)在是相形見(jiàn)拙了�！痹谶@里，萊布尼茲不僅顯示出了不帶“歐洲中心論”色彩的虛心好學(xué)精神，而且為中西文化雙向交流描繪了宏偉的藍(lán)圖，極力推動(dòng)這種交流向縱深發(fā)展，是東西方人民相互學(xué)習(xí)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，共同繁榮進(jìn)步。

　　萊布尼茲為促進(jìn)中西文化交流做出了畢生的努力，產(chǎn)生了廣泛而深遠(yuǎn)的影響。他的虛心好學(xué)、對(duì)中國(guó)文化平等相待，不含“歐洲中心論”偏見(jiàn)的精神尤為難能可貴，值得后世永遠(yuǎn)敬仰、效仿。

　　五、豐碩的物理學(xué)成果

　　萊布尼茲的物理學(xué)成就也是非凡的。他發(fā)表了《物理學(xué)新假說(shuō)》，提出了具體運(yùn)動(dòng)原理和抽象運(yùn)動(dòng)原理，認(rèn)為運(yùn)動(dòng)著的物體，不論多么渺小，他將帶著處于完全靜止?fàn)顟B(tài)的物體的部分一起運(yùn)動(dòng)。他還對(duì)笛卡兒提出的動(dòng)量守恒原理進(jìn)行了認(rèn)真的探討，提出了能量守恒原理的雛型，并在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了“關(guān)于笛卡兒和其他人在自然定律方面的顯著錯(cuò)誤的簡(jiǎn)短證明”，提出了運(yùn)動(dòng)的量的問(wèn)題，證明了動(dòng)量不能作為運(yùn)動(dòng)的度量單位，并引入動(dòng)能概念，第一次認(rèn)為動(dòng)能守恒是一個(gè)普通的物理原理。他又充分地證明了“永動(dòng)機(jī)是不可能”的觀點(diǎn)。他也反對(duì)牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀，認(rèn)為“沒(méi)有物質(zhì)也就沒(méi)有空見(jiàn)，空間本身不是絕對(duì)的實(shí)在性”，“空間和物質(zhì)的區(qū)別就象時(shí)間和運(yùn)動(dòng)的區(qū)別一樣，可是這些東西雖有區(qū)別，卻是不可分離的”。在光學(xué)方面，萊布尼茲也有所建樹(shù)，他利用微積分中的求極值方法，推導(dǎo)出了折射定律，并嘗試用求極值的方法解釋光學(xué)基本定律�？梢哉f(shuō)萊布尼茲的物理學(xué)研究一直是朝著為物理學(xué)建立一個(gè)類(lèi)似歐氏幾何的公理系統(tǒng)的目標(biāo)前進(jìn)的。

　　人物成就

　　微積分

　　現(xiàn)今在微積分領(lǐng)域使用的符號(hào)仍是萊布尼茨所提出的。在高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域，萊布尼茨判別法是用來(lái)判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性的。

　　萊布尼茨與艾薩克·牛頓誰(shuí)先發(fā)明微積分的爭(zhēng)論是數(shù)學(xué)界至今最大的公案。萊布尼茨于1684年發(fā)表第一篇微分論文，定義了微分概念，采用了微分符號(hào)dx、dy。1686年他又發(fā)表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號(hào)∫。依據(jù)萊布尼茨的筆記本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分學(xué)。

　　然而1695年英國(guó)學(xué)者宣稱(chēng)：微積分的發(fā)明權(quán)屬于艾薩克·牛頓；1699年又說(shuō)：牛頓是微積分的“第一發(fā)明人”。1712年英國(guó)皇家學(xué)會(huì)成立了一個(gè)委員會(huì)調(diào)查此案，1713年初發(fā)布公告：“確認(rèn)艾薩克·牛頓是微積分的第一發(fā)明人�！比R布尼茨直至去世后的幾年都受到了冷遇。由于對(duì)牛頓的盲目崇拜，英國(guó)學(xué)者長(zhǎng)期固守于牛頓的流數(shù)術(shù)，只用牛頓的流數(shù)符號(hào)，不屑采用萊布尼茨更優(yōu)越的符號(hào)，以致英國(guó)的數(shù)學(xué)脫離了數(shù)學(xué)發(fā)展的時(shí)代潮流。

　　不過(guò)萊布尼茨對(duì)牛頓的評(píng)價(jià)非常高，在1701年柏林宮廷的一次宴會(huì)上，普魯士國(guó)王腓特烈詢(xún)問(wèn)萊布尼茨對(duì)牛頓的看法，萊布尼茨說(shuō)道：“在從世界開(kāi)始到牛頓生活的時(shí)代的全部數(shù)學(xué)中，牛頓的工作超過(guò)了一半�！�

　　牛頓在1687年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的第一版和第二版也寫(xiě)道：“十年前在我和最杰出的幾何學(xué)家萊布尼茨的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類(lèi)似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學(xué)家在回信中寫(xiě)道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒(méi)有什么不同，除了他的措詞和符號(hào)而外”（但在第三版及以后再版時(shí)，這段話被刪掉了）。因此，后來(lái)人們公認(rèn)牛頓和萊布尼茨是各自獨(dú)立地創(chuàng)建微積分的。

　　牛頓從物理學(xué)出發(fā)，運(yùn)用幾何方法研究微積分，其應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣高于萊布尼茨。萊布尼茨則從幾何問(wèn)題出發(fā)，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則，其數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的。

　　萊布尼茨認(rèn)識(shí)到好的數(shù)學(xué)符號(hào)能節(jié)省思維勞動(dòng)，運(yùn)用符號(hào)的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。因此，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大影響。1714至1716年間，萊布尼茨在去世前，起草了《微積分的歷史和起源》一文（本文直到1846年才被發(fā)表），總結(jié)了自己創(chuàng)立微積分科學(xué)的思路，說(shuō)明了自己成就的獨(dú)立性。

　　拓?fù)鋵W(xué)

　　拓?fù)鋵W(xué)最早稱(chēng)之“位相分析學(xué)”（analysis situs），是萊布尼茨1679年提出的，這是一門(mén)研究地形、地貌相類(lèi)似的學(xué)科，當(dāng)時(shí)主要研究的是出于數(shù)學(xué)分析的需要而產(chǎn)生的一些幾何問(wèn)題。關(guān)于萊布尼茨對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的貢獻(xiàn)，尚存爭(zhēng)論。Mates引用Jacob Freudenthal1954年一篇論文里的話說(shuō)：

　　盡管萊布尼茨認(rèn)為一列點(diǎn)在空間中的位置是由其間距離唯一決定的——當(dāng)且僅當(dāng)距離發(fā)生變化時(shí)點(diǎn)的位置發(fā)生相應(yīng)的改變——他的仰慕者歐拉，在他著名的一篇論文（1736年發(fā)表，解決了哥尼斯堡（加里寧格勒）七橋問(wèn)題及其推廣）中，卻是在“拓?fù)渥冃螘r(shí)點(diǎn)的位置不發(fā)生變化”的意義下使用“幾何位置”這個(gè)名詞的。他誤信了萊布尼茨是這個(gè)概念的創(chuàng)始者�！�…人們常常意識(shí)不到萊布尼茨是在完全不同的意義下使用這個(gè)名詞的，因此被尊為數(shù)學(xué)的這個(gè)分支領(lǐng)域的奠基人并不恰當(dāng)。

　　但平野秀秋持有不同看法，他引用本華·曼德博的話說(shuō)：“在萊布尼茨海量的科學(xué)成果中探索是發(fā)人深省的體驗(yàn)。除了微積分以及其他已經(jīng)完成的研究之外，大量涉及內(nèi)容廣泛且極富前瞻性的研究對(duì)科學(xué)發(fā)展的推動(dòng)力勢(shì)不可擋。在‘填充理論’上即有例子，……在發(fā)現(xiàn)萊布尼茨還曾經(jīng)關(guān)注過(guò)幾何度量的重要性之后，我對(duì)他的狂熱更甚了。在“歐幾里德普羅塔”中……其使得歐幾里德公理更加嚴(yán)格，他陳述道，……‘對(duì)直線，我有數(shù)種不同的定義。直線是曲線的一種，而曲線的任何部分都是和整體相似的，因此直線也具有這種特性；這不僅適用于曲線，而且適用于集合�！�”這個(gè)論斷今天已經(jīng)可以被證明。

　　因而分形幾何（由本華·曼德博發(fā)揚(yáng)光大）理論在萊布尼茨的自相似性思想和連續(xù)性原理中尋求支持：大自然沒(méi)有跳躍（拉丁語(yǔ)“natura non facit saltus”，英語(yǔ)"nature does not make jumps"）。當(dāng)萊布尼茨在他的《形而上學(xué)論》著作中寫(xiě)道，“直線是曲線的一種，其任何部分都是和整體類(lèi)似的”，他實(shí)際上提前兩個(gè)世紀(jì)預(yù)言了拓?fù)鋵W(xué)的誕生。至于“填充理論”，萊布尼茨對(duì)他的朋友Des Bosses說(shuō)，“你想象一個(gè)圓，然后用三個(gè)全等的最大半徑的圓填滿它，后來(lái)的三個(gè)小圓又可以以同樣的過(guò)程被更小的圓填充”。這個(gè)過(guò)程可以無(wú)限地繼續(xù)下去，并由此生發(fā)出了自相似性的思想。萊布尼茨對(duì)于歐氏公理的改進(jìn)亦包含同樣的概念。

　　符號(hào)思維

　　萊布尼茨有個(gè)顯著的信仰，大量的人類(lèi)推理可以被歸約為某類(lèi)運(yùn)算，而這種運(yùn)算可以解決看法上的差異：

　　“精煉我們的推理的唯一方式是使它們同數(shù)學(xué)一樣切實(shí)，這樣我們能一眼就找出我們的錯(cuò)誤，并且在人們有爭(zhēng)議的時(shí)候，我們可以簡(jiǎn)單地說(shuō)：讓我們計(jì)算[calculemus]，而無(wú)須進(jìn)一步的忙亂，就能看出誰(shuí)是正確的。”（發(fā)現(xiàn)的藝術(shù) 1685,W 51）

　　萊布尼茨的演算推論器，很能讓人想起符號(hào)邏輯，可以被看作使這種計(jì)算成為可行的一種方式。萊布尼茨寫(xiě)的備忘錄（帕金森1966年翻譯了它們）可以被看作是對(duì)符號(hào)邏輯的探索——所以他的演算——上路了。但是Gerhard和Couturat沒(méi)有出版這些著作，直到現(xiàn)代形式邏輯在19世紀(jì)80年代于Frege的概念文字和Charles Peirce及他的學(xué)生的著作中形成，所以就更在喬治·布爾和德·摩根在1847開(kāi)創(chuàng)這種邏輯之后了。

　　單子論

　　除了是一位出眾的天才數(shù)學(xué)家之外，萊布尼茨亦是歐陸理性主義哲學(xué)的高峰。承繼了西方哲學(xué)傳統(tǒng)的思想，他認(rèn)為世界，因其確定（換句話說(shuō)，有關(guān)世界的知識(shí)是客觀普遍和必然的）之故，必然是由自足的實(shí)體所構(gòu)成。所謂的自足，是不依他物存在和不依他物而被認(rèn)知。萊布尼茨的前輩巴魯赫·斯賓諾莎以為實(shí)體只有一個(gè)，就是神/自然。萊布尼茨對(duì)此不敢茍同，原因之一是斯氏的泛神觀和圣經(jīng)的神學(xué)有明顯沖突，其次，是因?yàn)樗故系睦碚摏](méi)有能夠解決由笛卡兒以降的二元論，令世界出現(xiàn)了斷層（他雖然強(qiáng)調(diào)世界為一，但沒(méi)有說(shuō)明這一個(gè)看來(lái)是二元對(duì)立的世界的一統(tǒng)是如何可能）。

　　萊布尼茨以為實(shí)體是多的，是無(wú)限多的。跟隨亞里士多德的實(shí)體觀，他以為實(shí)體是一命題的主語(yǔ)。在一個(gè)命題S是P中，S就是實(shí)體。因?yàn)閷?shí)體是自足的，則它要包含所有可能的謂語(yǔ)，即是“...是P”。由此，我們可以推出，實(shí)體有四個(gè)特征：不可分割性、封閉性、統(tǒng)有性和道德性。

　　不可分割性是指，任何有廣延的東西，即有長(zhǎng)度的東西，都可以被分割。被分割了的東西分別包含了自己的全部可能性，并且自足，則有廣延的東西的內(nèi)容，即可能性要依附于他的部分的可能性。如此類(lèi)推，則只要有廣延性，就不自足，而要依他物而被知（對(duì)萊布尼茨來(lái)說(shuō)，真正的知識(shí)就是要窮一物的可能性），就不是實(shí)體。故實(shí)體不可分割，是一沒(méi)有廣延的東西，在萊布尼茨的晚年著作中（Monadology），他稱(chēng)之為單子（Monad），單子的性質(zhì)就是思（thought）。這廣延的世界就是由無(wú)限多的單子構(gòu)成。

　　封閉性是說(shuō)每一單子必然是自足的，不依他而存在，而又包含了自己的全部可能性。則一單子不可能和另一單子有交互作用（interaction）。若一單子作用于另一單子，則后一單子有一可能性沒(méi)有包括在該單子之內(nèi)，即該單子沒(méi)能自足的包含自己的全部?jī)?nèi)容，而要依附于他物。因?yàn)閷?shí)體的定義，這是不可能的。故萊布尼茨說(shuō)：“單子之間沒(méi)有窗戶(hù)。”

　　統(tǒng)有性是指每一單子都必然以某種角度（perspective）包括了全世界。因?yàn)槭澜缡蔷o密的由因果所構(gòu)成，故A作用于B，其實(shí)不單單是作用于B，而是全世界。如果說(shuō)一單子的內(nèi)容包括自身的全部可能，則每一單子均以該單子自身為中心指向全世界。而這個(gè)世界是一統(tǒng)的，不等于說(shuō)所有單子都是一樣的，因?yàn)橥�一世界可以不同的角度�?lái)認(rèn)知，而不失為一一統(tǒng)的世界。

　　最后，單子的道德性則較復(fù)雜。這個(gè)特性的提出是基于兩個(gè)理由，一、是世界的一統(tǒng)性（unity），二、是世界的確定性。對(duì)于前者，所有的單子都包含全世界，但各以自己的角度，世界的一統(tǒng)性是不是假的呢？如果我們要說(shuō)一統(tǒng)，可以如何說(shuō)起呢？對(duì)于后者，世界是由單子構(gòu)成，單子只是其可能性的集合，世界亦只是一可能。那我們是不是不可能有一種不僅僅是可能，而是必然的知識(shí)呢？我們可以在什么意義下說(shuō)有關(guān)世界的知識(shí)是真的、確定的呢？萊布尼茨將之歸功于一神，世界的創(chuàng)造者。從一個(gè)方面說(shuō)，神在創(chuàng)造之前，沒(méi)有已成的材料，故沒(méi)有既成的有限處境，則創(chuàng)造是一純意志的創(chuàng)造，神是單憑其至善而創(chuàng)造這一個(gè)世界的。

　　故此，如萊布尼茨的名言，這一個(gè)確切成就了的世界是“眾多可能的世界之中最好的一個(gè)”。這乎合了萊布尼茨的信仰要求。另一方面，要確定的了解一事物，則要了解其原因。要理解這一個(gè)原因，又要追索該原因的原因。如此類(lèi)推，則世界的確定性知識(shí)不可能是一世界之內(nèi)的動(dòng)因（efficient cause），而是一超越的形上因（metaphysical cause）。

　　萊布尼茨稱(chēng)這個(gè)理論上必要設(shè)置的形上因?yàn)樯�。故，這一個(gè)世界之所以是如此，就是因?yàn)檫@是最好的，是至善的可能世界。人，要完全理解這神的至善意志，是不可能的，但可朝這一個(gè)方向邁進(jìn)，因?yàn)槿说男撵`作一特殊的單子，是有記憶的，可以基于過(guò)去，疇劃自己的未來(lái)，這是人類(lèi)分享的神性，即道德的可能性。人可以透過(guò)開(kāi)放可能性，了解這個(gè)神創(chuàng)造的世界，而了解如何成為一個(gè)道德的人。

　　這一種世界的道德觀，可以被視為康德的先驅(qū)，分別在于萊布尼茨獨(dú)斷的提出了神為道德的完滿，把可能性說(shuō)成了是在神的目光之下的實(shí)在，而沒(méi)有真正的將世界的可能性看作為可能性。而且萊布尼茨對(duì)天賦觀念（innate idea）的批評(píng)，正是黑格爾對(duì)康德的批評(píng)，在這個(gè)意義上說(shuō)，康德一方面是被休謨（Hume）從萊布尼茨的獨(dú)斷夢(mèng)中喚醒，可是同時(shí)亦到由洛克（Locke）起的哲學(xué)病變--對(duì)理性界限的審查--所污染。在這一方面，萊布尼茨卻比康德走前了一步。

　　形式邏輯

　　萊布尼茨是在亞里士多德和1847年喬治·布爾和德·摩根分別出版開(kāi)創(chuàng)現(xiàn)代形式邏輯的著作之間最重要的邏輯學(xué)家。萊布尼茨闡明了合取、析取、否定、同一、集合包含和空集的首要性質(zhì)。萊布尼茨的邏輯原理和他的整個(gè)哲學(xué)可被歸約為兩點(diǎn)：

　　所有的我們的觀念（概念）都是由非常小數(shù)目的簡(jiǎn)單觀念復(fù)合而成，它們形成了人類(lèi)思維的字母。

　　復(fù)雜的觀念來(lái)自這些簡(jiǎn)單的觀念，是由它們通過(guò)模擬算術(shù)運(yùn)算的統(tǒng)一的和對(duì)稱(chēng)的組合。

　　萊布尼茨與中國(guó)文化

　　萊布尼茨是最早接觸中華文化的歐洲人之一，從一些曾經(jīng)前往中國(guó)傳教的教士那里接觸到中國(guó)文化，之前應(yīng)該從馬可·波羅引起的東方熱留下的影響中也了解過(guò)中國(guó)文化。法國(guó)漢學(xué)大師若阿基姆·布韋（Joachim Bouvet，漢名白晉，1662－1732年）向萊布尼茨介紹了《周易》和八卦的系統(tǒng)。在萊布尼茨眼中，“陰”與“陽(yáng)”基本上就是他的二進(jìn)制的中國(guó)版。他曾斷言：“二進(jìn)制乃是具有世界普遍性的、最完美的邏輯語(yǔ)言”。如今在德國(guó)圖林根，著名的郭塔王宮圖書(shū)館（Schlossbibliothek zu Gotha）內(nèi)仍保存一份萊氏的手稿，標(biāo)題寫(xiě)著“1與0，一切數(shù)字的神奇淵源�！�

　　其手稿標(biāo)題全文是：“1與0，一切數(shù)字的神奇淵源�！�…這是造物的秘密美妙的典范，因?yàn)�，一切無(wú)非都來(lái)自上帝�！倍�且萊布尼茨自己寫(xiě)給若阿基姆·布韋的信中說(shuō)：“第一天的伊始是1，也就是上帝。第二天的伊始是2，……到了第七天，一切都有了。所以，這最后的一天也是完美的。因?yàn)椋�此時(shí)世間的一切都已經(jīng)被創(chuàng)造出來(lái)了。因此它被寫(xiě)作‘7’，也就是‘111’（二進(jìn)制中的111等于十進(jìn)制的7），而且不包含0。只有當(dāng)我們僅僅用0和1來(lái)表達(dá)這個(gè)數(shù)字時(shí)，才能理解，為什么第七天才完美，為什么7是神圣的數(shù)字。特別值得注意的是它（第七天）的特征（寫(xiě)作二進(jìn)制的111）與三位一體的關(guān)聯(lián)。”

　　郭書(shū)春在《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽》一書(shū)461頁(yè)中稱(chēng)：“中國(guó)有所謂《周易》創(chuàng)造了二進(jìn)制的說(shuō)法，至于萊布尼茲受《周易》八卦的影響創(chuàng)造二進(jìn)制并用于計(jì)算機(jī)的神話，更是廣為流傳。事實(shí)是，萊布尼茲先發(fā)明了二進(jìn)制，后來(lái)才看到傳教士帶回的宋代學(xué)者重新編排的《周易》八卦，并發(fā)現(xiàn)八卦可以用他的二進(jìn)制來(lái)解釋�！币源藶橛�，認(rèn)為并不是萊布尼茨看到陰陽(yáng)八卦才發(fā)明二進(jìn)制。梁宗巨著《數(shù)學(xué)歷史典故》（1995年出版）一書(shū)14～18頁(yè)對(duì)這一歷史公案亦有此說(shuō)。

　　胡陽(yáng)、李長(zhǎng)鐸在《萊布尼茨發(fā)明二進(jìn)制前沒(méi)有見(jiàn)過(guò)先天圖嗎——對(duì)歐洲現(xiàn)存17世紀(jì)中西交流文獻(xiàn)的考證》通過(guò)對(duì)歐洲現(xiàn)存17世紀(jì)中西交流文獻(xiàn)的研究考證，否定了萊布尼茨在發(fā)明二進(jìn)制以后才見(jiàn)到先天圖的說(shuō)法。先天圖在萊布尼茨發(fā)明二進(jìn)制之前，已被斯比塞爾稱(chēng)之為二進(jìn)制。

　　有關(guān)萊布尼茨二進(jìn)制與中國(guó)古代典籍《易經(jīng)》關(guān)系問(wèn)題的討論涉及如何看待近代中西文化的各自特質(zhì)以及它們之間的相互作用問(wèn)題。雖然二進(jìn)制只是一種算術(shù)記數(shù)法和計(jì)數(shù)法，但它實(shí)際上是特定文化（包括數(shù)學(xué)、語(yǔ)言、符號(hào)、邏輯和哲學(xué)等）的產(chǎn)物。現(xiàn)有觀點(diǎn)中的一個(gè)明顯不足是把與二進(jìn)制相關(guān)的概念、理論（原理、符號(hào)等）的形成與發(fā)展看作是單因素的、一次性完成的結(jié)果，又把二進(jìn)制與《易經(jīng)》哲學(xué)和卦圖的相互作用關(guān)系看作是“全或無(wú)”的關(guān)系，從而忽視了概念、理論的形成和變化過(guò)程，也容易導(dǎo)致兩種極端的判斷。

　　因此，立足于近代中西文化交流的大背景，從概念與認(rèn)知分析入手，能夠把萊布尼茨二進(jìn)制思想的形成過(guò)程置于近代中西文化交流所編織的概念網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)之中，進(jìn)而梳理出萊布尼茨在秉承西方近代數(shù)學(xué)概念的同時(shí)，如何通過(guò)獲取和吸納《易經(jīng)》概念資源而實(shí)現(xiàn)概念的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)換的脈絡(luò)。我們看到，除了萊布尼茨個(gè)人的獨(dú)創(chuàng)性的偉大貢獻(xiàn)外，近代意義上的二進(jìn)制實(shí)際上是“中西合璧”的產(chǎn)物。

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