古代埃及數(shù)學(xué) (Ancient Egyptian Mathematics)
非洲東北部的尼羅河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500-3000年間，這里曾建立了一個(gè)統(tǒng)一的帝國(guó)。
目前我們對(duì)古埃及數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，主要源于兩份用僧侶文寫成的紙草書，其一是成書于公元前1850年左右的莫斯科紙草書，另一份是約成書于公元前1650年的蘭德(Rhind)紙草書，又稱阿梅斯(Ahmes)紙草書。阿梅斯紙草書的內(nèi)容相當(dāng)豐富，講述了埃及的乘法和除法、單位分?jǐn)?shù)的用法、試位法、求圓面積問(wèn)題的解和數(shù)學(xué)在許多實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。
古埃及人使用象形文字，其數(shù)字以十進(jìn)制表示，但并非位值制，而分?jǐn)?shù)還有一套專門的記法。由埃及數(shù)系建立起來(lái)的算術(shù)具有加法特征，其乘、除法的計(jì)算也只是利用連續(xù)加倍的方法來(lái)完成。古埃及人將所有的分?jǐn)?shù)都化成單位分?jǐn)?shù)(分子為1的分?jǐn)?shù)之和)，在阿梅斯紙草書中，有很大一張分?jǐn)?shù)表，把狀分?jǐn)?shù)表示成單位分?jǐn)?shù)之和，如： ，，…，，等等。
古埃及人已經(jīng)能解決一些屬于一次方程和最簡(jiǎn)單的二次方程的問(wèn)題，還有一些關(guān)于等差數(shù)列、等比數(shù)列的初步知識(shí)。
如果說(shuō)巴比倫人發(fā)展了卓越的算術(shù)和代數(shù)學(xué)，那么在另一方面，人們一般認(rèn)為埃及人在幾何學(xué)方面要?jiǎng)龠^(guò)巴比倫人。一種觀點(diǎn)認(rèn)為，尼羅河水每年一次的定期泛濫，淹沒(méi)河流兩岸的谷地。大水過(guò)后，法老要重新分配土地，長(zhǎng)期積累起來(lái)的土地測(cè)量知識(shí)逐漸發(fā)展為幾何學(xué)。
埃及人能夠計(jì)算簡(jiǎn)單平面圖形的面積，計(jì)算出的圓周率為3.16049;他們還知道如何計(jì)算棱椎、圓椎、圓柱體及半球的體積。其中最驚人的成就在于方棱椎平頭截體體積的計(jì)算，他們給出的計(jì)算過(guò)程與現(xiàn)代的公式相符。
至于在建造金字塔和神殿過(guò)程中，大量運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的事實(shí)表明，埃及人已積累了許多實(shí)用知識(shí)，而有待于上升為系統(tǒng)的理論。
印度數(shù)學(xué) (Hindu Mathematics)
印度是世界上文化發(fā)達(dá)最早的地區(qū)之一，印度數(shù)學(xué)的起源和其它古老民族的數(shù)學(xué)起源一樣，是在生產(chǎn)實(shí)際需要的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。但是，印度數(shù)學(xué)的發(fā)展也有一個(gè)特殊的因素，便是它的數(shù)學(xué)和歷法一樣，是在婆羅門祭禮的影響下得以充分發(fā)展的。再加上佛教的交流和貿(mào)易的往來(lái)，印度數(shù)學(xué)和近東，特別是中國(guó)的數(shù)學(xué)便在互相融合，互相促進(jìn)中前進(jìn)。另外，印度數(shù)學(xué)的發(fā)展始終與天文學(xué)有密切的關(guān)系，數(shù)學(xué)作品大多刊載于天文學(xué)著作中的某些篇章。
《繩法經(jīng)》屬于古代婆羅門教的經(jīng)典，可能成書于公元前6世紀(jì)，是在數(shù)學(xué)史上有意義的宗教作品，其中講到拉繩設(shè)計(jì)祭壇時(shí)所體現(xiàn)到的幾何法則，并廣泛地應(yīng)用了勾股定理。
此后約1000年之中，由于缺少可靠的史料，數(shù)學(xué)的發(fā)展所知甚少。
公元5-12世紀(jì)是印度數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展時(shí)期，其成就在世界數(shù)學(xué)史上占有重要地位。在這個(gè)時(shí)期出現(xiàn)了一些著名的學(xué)者，如6世紀(jì)的阿利耶波多(第一) (ryabhata)，著有《阿利耶波多歷數(shù)書》;7世紀(jì)的婆羅摩笈多(Brahmagupta)，著有《婆羅摩笈多修訂體系》(Brahma- sphuta-sidd’hnta)，在這本天文學(xué)著作中，包括「算術(shù)講義」和「不定方程講義」等數(shù)學(xué)章節(jié);9世紀(jì)摩訶毗羅(Mah vira);12世紀(jì)的婆什迦羅(第二)(Bhskara)，著有《天文系統(tǒng)極致》(Siddhnta iromani)，有關(guān)數(shù)學(xué)的重要部份為《麗羅娃提》(Lilvati)和《算法本源》(Vjaganita)等等。
在印度，整數(shù)的十進(jìn)制值制記數(shù)法產(chǎn)生于6世紀(jì)以前，用9個(gè)數(shù)字和表示零的小圓圈，再借助于位值制便可寫出任何數(shù)字。他們由此建立了算術(shù)運(yùn)算，包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則;開平方和開立方的法則等。對(duì)于「零」，他們不單是把它看成「一無(wú)所有」或空位，還把它當(dāng)作一個(gè)數(shù)來(lái)參加運(yùn)算，這是印度算術(shù)的一大貢獻(xiàn)。
印度人創(chuàng)造的這套數(shù)字和位值記數(shù)法在8世紀(jì)傳入伊斯蘭世界，被阿拉伯人采用并改進(jìn)。13世紀(jì)初經(jīng)斐波納契的《算盤書》流傳到歐洲，逐漸演變成今天廣為利用的1，2，3，4，…等等，稱為印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼。
印度對(duì)代數(shù)學(xué)做過(guò)重大的貢獻(xiàn)。他們用符號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，并用縮寫文字表示未知數(shù)。他們承認(rèn)負(fù)數(shù)和無(wú)理數(shù)，對(duì)負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則有具體的描述，并意識(shí)到具有實(shí)解的二次方程有兩種形式的根。印度人在不定分析中顯示出卓越的能力，他們不滿足于對(duì)一個(gè)不定方程只求任何一個(gè)有理解，而致力于求所有可能的整數(shù)解。印度人還計(jì)算過(guò)算術(shù)級(jí)數(shù)和幾何級(jí)數(shù)的和，解決過(guò)單利與復(fù)利、折扣以及合股之類的商業(yè)問(wèn)題。
印度人的幾何學(xué)是憑經(jīng)驗(yàn)的，他們不追求邏輯上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，只注重發(fā)展實(shí)用的方法，一般與測(cè)量相聯(lián)系，側(cè)重于面積、體積的計(jì)算。其貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不上他們?cè)谒阈g(shù)和代數(shù)方面的貢獻(xiàn)大。在三角學(xué)方面，印度人用半弦(即正弦)代替了希臘人的全弦，制作正弦表，還證明了一些簡(jiǎn)單的三角恒等式等等。他們?cè)谌菍W(xué)所做的研究是十分重要的。