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高中橢圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
橢圓是一個(gè)數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，但要考的知識(shí)點(diǎn)并不是十分的多，下面高中橢圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)是小編為大家?guī)?lái)的，希望對(duì)大家有所幫助。
高中橢圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
橢圓知識(shí)點(diǎn)
1.利用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法(先定性、后定型、再定參)。
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，所謂“標(biāo)準(zhǔn)”，就是橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦點(diǎn)F1、F2的位置決定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，是橢圓的定位條件;參數(shù)a、b 決定橢圓的形狀和大小，是橢圓的定形條件。對(duì)于方程x^2/m+y^2/n=1 ，m>0,n>0若m>n ，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上;若m
(2)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無(wú)法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可設(shè)方程為x^2/m+y^2/n=1 ，m>0,n>0 ，可以避免討論和繁雜的計(jì)算，也可以設(shè)Ax^2+By^2=1(A>0,B>0) ，這種形式在解題中更簡(jiǎn)便。
2.橢圓定義的應(yīng)用：
平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 、F2 的距離之和等于常數(shù)2a ，當(dāng)2a >|F1F2 |時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓;當(dāng) 2a=|F1F2 |時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2 ;當(dāng) 2a<|F1F2 |時(shí)，軌跡為存在。
橢圓的幾何性質(zhì)：
(1)設(shè)橢圓的方程x^2/a^2+y^2/b^2=1 上任意一點(diǎn)為P ，則OP^2=x^2+y^2 ，當(dāng)x=-a,a時(shí)有最大值 ，這時(shí)P在長(zhǎng)軸端點(diǎn)A1或A2處。
(2)橢圓上任意一點(diǎn)P 與兩焦點(diǎn)F1F2 ， 構(gòu)成三角形 稱之為焦點(diǎn)三角形，周長(zhǎng)為2a+2c 。
(3)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的邊長(zhǎng)，有a^2=b^2+c^2 。
直線與橢圓的相交問(wèn)題
在解決有關(guān)橢圓的問(wèn)題時(shí)，要先畫(huà)出圖形，解題時(shí)重視方程的幾何意義和圖形的輔助作用，將對(duì)幾何圖形的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)代數(shù)式的研究，同時(shí)又要理解代數(shù)問(wèn)題的幾何意義。數(shù)形結(jié)合的思想方法是解析幾何中基本的思想方法。解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)研究幾何，如求軌跡方程、范圍問(wèn)題等，幾乎都與函數(shù)有關(guān)，實(shí)質(zhì)即將幾何條件(性質(zhì))表示為動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y) 的方程或函數(shù)關(guān)系。因此，自覺(jué)地運(yùn)用函數(shù)方程的觀點(diǎn)是解此類問(wèn)題的關(guān)鍵。
橢圓解題技巧
一、設(shè)點(diǎn)或直線
做題一般都需要設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)或直線方程，其中點(diǎn)或直線的設(shè)法有很多種。其中點(diǎn)可以設(shè)為 ,等，如果是在橢圓上的點(diǎn)，還可以設(shè)為。一般來(lái)說(shuō)，如果題目中只涉及到唯一一個(gè)橢圓上的的動(dòng)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)可以設(shè)為 。還要注意的是，很多點(diǎn)的坐標(biāo)都是設(shè)而不求的。對(duì)于一條直線，如果過(guò)定點(diǎn)并且不與y軸平行，可以設(shè)點(diǎn)斜式 ,如果不與x軸平行，可以設(shè)，如果只是過(guò)定點(diǎn)，可以設(shè)參數(shù)方程，其中α是直線的傾斜角。一般題目中涉及到唯一動(dòng)直線時(shí)可以設(shè)直線的參數(shù)方程。
二、轉(zhuǎn)化條件
有的時(shí)候題目給的條件是不能直接用或直接用起來(lái)不方便的，這時(shí)候就需要將這些條件轉(zhuǎn)化一下。對(duì)于一道題來(lái)說(shuō)這是至關(guān)重要的一步，如果轉(zhuǎn)化得巧，可以極大地降低運(yùn)算量。比如點(diǎn)在圓上可以轉(zhuǎn)化為向量點(diǎn)乘得零，三點(diǎn)共線可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量平行，某個(gè)角的角平分線是一條水平或豎直直線則這個(gè)角的兩條邊斜率和是零。
有的題目可能不需要轉(zhuǎn)化直接帶入條件解題即可，有的題目給的條件可能有多種轉(zhuǎn)化方式，這時(shí)候最好先別急著做題，多想幾種轉(zhuǎn)化方法，估計(jì)一下哪種方法更簡(jiǎn)單。
三、代數(shù)運(yùn)算
轉(zhuǎn)化完條件就剩算數(shù)了。很多題目都要將直線與橢圓聯(lián)立以便使用一元二次方程的韋達(dá)定理，但要注意并不是所有題目都是這樣。有的題目可能需要算弦長(zhǎng)，可以用弦長(zhǎng)公式，設(shè)參數(shù)方程時(shí)，弦長(zhǎng)公式可以簡(jiǎn)化為解析幾何中有時(shí)要求面積，如果O是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為
和，AB與x軸交于D，則(d是點(diǎn)O到AB的距離;第三個(gè)公式是我自己推的，教材上沒(méi)有，解答題慎用)。
解析幾何中很多題都有動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線。如果題目只涉及到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，可以考慮用參數(shù)設(shè)點(diǎn)。若是只涉及一個(gè)過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線，題目中又涉及到求長(zhǎng)度面積之類的東西，這時(shí)設(shè)直線的參數(shù)方程會(huì)簡(jiǎn)單一些。
在解析幾何中還有一種方法叫點(diǎn)差法，設(shè)橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，將兩點(diǎn)在橢圓上的方程相減，整理即可得到這兩點(diǎn)的中點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)與這兩點(diǎn)連線的斜率的關(guān)系式。
四、能力要求
做解析幾何題，首先對(duì)人的耐心與信心是一種考驗(yàn)。在做題過(guò)程中可能遇到會(huì)一大長(zhǎng)串的式子要化簡(jiǎn)，這時(shí)候，只要你方向沒(méi)錯(cuò)，堅(jiān)持算下去肯定能看到最終的結(jié)果。另外運(yùn)算速度和準(zhǔn)確率也是很重要的，在真正考試的時(shí)候肯定不像平時(shí)做題的時(shí)候能容你慢慢做題，因此需要有一定的做題速度，在做題的時(shí)候運(yùn)算準(zhǔn)確也是必須要保證的，因?yàn)橐坏┧沐e(cuò)數(shù)，就很可能功虧一簣。
五、理論拓展
這一部分主要說(shuō)一些對(duì)做題有幫助的公式、定理、推論等內(nèi)容關(guān)于直線：
1、將直線的兩點(diǎn)式整理后，可以得到這個(gè)方程:。據(jù)此可以直接寫(xiě)出過(guò)和
兩點(diǎn)的直線，至于這兩點(diǎn)連線是否與x軸垂直，是否與y軸垂直都沒(méi)有關(guān)系。對(duì)于一些坐標(biāo)很復(fù)雜的點(diǎn)，可以直接代入這個(gè)方程便捷的得到過(guò)兩點(diǎn)的直線。
2、直線一般式Ax+By+C=0表示的這條直線和向量(A,B)垂直;過(guò)定點(diǎn)的直線的一般式可以寫(xiě)為 。根據(jù)這兩條推論可以快速地寫(xiě)出兩點(diǎn)的垂直平分線的方程。
關(guān)于橢圓：
3、橢圓
的焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)為
(其中α是直線的傾斜角，k是l的斜率)。右焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為 ，將橫縱坐標(biāo)都取相反數(shù)可得左焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)。
4、根據(jù)橢圓的第二定義，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到同一側(cè)的準(zhǔn)線的距離之商等于橢圓的離心率。
拓展內(nèi)容：高中函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一、函數(shù)的定義域的常用求法：
1、分式的分母不等于零;
2、偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于等于零;
3、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零;
4、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1;
5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中x≠kπ+π/2;
6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。
二、函數(shù)的解析式的常用求法：
1、定義法;2、換元法;3、待定系數(shù)法;4、函數(shù)方程法;5、參數(shù)法;6、配方法
三、函數(shù)的值域的常用求法：
1、換元法;2、配方法;3、判別式法;4、幾何法;5、不等式法;6、單調(diào)性法;7、直接法
四、函數(shù)的最值的常用求法：
1、配方法;2、換元法;3、不等式法;4、幾何法;5、單調(diào)性法
五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：
1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為增(減)函數(shù)
2、若f(x)為增(減)函數(shù)，則-f(x)為減(增)函數(shù)
3、若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則f[g(x)]是增函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性不同，則f[g(x)]是減函數(shù)。
4、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。
5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。
六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：
1、如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義，則f(0)=0，如果一個(gè)函數(shù)y=f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)=0(反之不成立)
2、兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù);之積(商)為偶函數(shù)。
3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。
4、兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù);當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。
5、若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)可以表示為f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)]，該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和。
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