借鑒字母意義的歷史演進設(shè)計教學(xué)
1研究背景與問題提出
“用字母表示數(shù)”是由自然的“算術(shù)語言”向抽象的“代數(shù)語言”過渡的起始,是學(xué)生代數(shù)學(xué)習(xí)的入門知識,是學(xué)習(xí)方程、不等式等的重要基礎(chǔ).大量研究發(fā)現(xiàn)學(xué)生對“用字母表示數(shù)”存在認(rèn)知困難,如薛文敘[1]、虞琳娜[2]、ClementJ[3]、BardiniC[4]等等,從各個不同的側(cè)面進行研究,發(fā)現(xiàn)學(xué)生對“用字母表示數(shù)”的理解存在很多問題.HartKM等人研究11~16歲兒童對字母的理解,發(fā)現(xiàn)兒童對字母的理解大體分為6類:給字母賦值、忽略字母意義、當(dāng)成物體、特定未知量、廣義的數(shù)、變量[5].HarperE在上世紀(jì)80年代前后曾對英國兩所文法學(xué)校1~6年級的學(xué)生,使用丟番圖《算術(shù)》中的名題:“已知兩數(shù)的和與差,證明這兩個數(shù)總能求出.”進行測試,獲得研究結(jié)論:學(xué)生對符號代數(shù)的認(rèn)知發(fā)展過程與符號代數(shù)的歷史發(fā)展過程具有相似性[6].Radford[7]、汪曉勤[8]等人的研究證實:學(xué)生對某些數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知與概念的歷史發(fā)展之間具有相似性.據(jù)此,若能以恰當(dāng)方式將數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展與學(xué)校教學(xué)融合起來,必將促進學(xué)生對概念的理解與認(rèn)知發(fā)展.那么,現(xiàn)在的學(xué)生對“用字母表示數(shù)”的理解情況是怎樣的?對此,確定如下兩個研究問題:(1)學(xué)生怎樣理解、運用字母?(2)學(xué)生對“字母表示數(shù)”的認(rèn)知發(fā)展過程和該知識的歷史發(fā)展過程是否印證已發(fā)現(xiàn)的相似性?
2“用字母表示數(shù)”的歷史概述
追溯“用字母表示數(shù)”的歷史發(fā)展進程,可以沿宏觀與微觀兩條路徑進行.宏觀上考察符號代數(shù)的歷史發(fā)展階段;微觀上查閱史料,理清字母意義的歷史演進過程.
2.1符號代數(shù)的歷史發(fā)展階段在中國,“代數(shù)”一詞源自清代數(shù)學(xué)家李善蘭和英國傳教士偉烈亞力(AWylie)于1859年合譯的第一部符號代數(shù)教材《代數(shù)術(shù)》.李善蘭所創(chuàng)“代數(shù)”一詞,正是取“用字母代替數(shù)”之義.通常數(shù)學(xué)史家認(rèn)為代數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了大致3個主要階段:修辭?縮略?符號.如NezzelmannGH在其著作《希臘代數(shù)》(1842)中就是這樣劃分的.人們往往將丟番圖以前時期的代數(shù)稱作“修辭代數(shù)”.在那時,人們沒有使用符號表示未知數(shù),所有問題的討論解決都是用長篇文字說明.“縮略代數(shù)”階段以引入字母表示未知量為典型特征.丟番圖是這一時期的典型代表人物.他用一個特殊的記號“?”表示未知量,用專門的符號表達乘冪、減號等.后來,使用不同字母表示不同數(shù),但是可以看到字母總是表示未知量.隨后的代數(shù)學(xué)家,如阿里耶波多(AryabhataⅠ)、花拉子米等雖朝向符號代數(shù)有所接近,但只在字母表示數(shù)的類型與方程解的一般性上做出了貢獻,而不是嘗試表達“一般量”或說“一類量”.“符號代數(shù)”應(yīng)歸功于16~17世紀(jì)法國杰出的數(shù)學(xué)家韋達(FrancoisViète)與笛卡爾(RenéDescartes).韋達在其著作《分析引論》中第一次有意識地使用系統(tǒng)的代數(shù)字母與符號,以輔音字母表示已知量,元音字母表示未知量,他把符號代數(shù)稱作“類的算術(shù)”,同時規(guī)定了算術(shù)與代數(shù)的分界,認(rèn)為代數(shù)運算施行于事物的類或形式,算術(shù)運算施行于具體的數(shù).這就使代數(shù)成為研究一般類型的形式和方程的學(xué)問.笛卡爾則主要對韋達的符號系統(tǒng)進行了改進.
2.2字母意義水平的歷史演進過程對應(yīng)符號代數(shù)的歷史發(fā)展過程,用來表示數(shù)的字母在具體意義上的歷史演進過程為:記數(shù)?未知?一類.伴隨著人們對字母表示數(shù)意義的認(rèn)識水平的提高,字母表示數(shù)的功能逐步得到發(fā)展與完善,而這是一個漫長的歷史演進過程.從公元前3世紀(jì)算起,從最初用字母只表示“記數(shù)符號”的代數(shù)思想萌芽開始,經(jīng)過若干人的摸索與不斷推進,直到16~17世紀(jì),用“字母”表示“一類量”思想的形成,跨越了2000多年的時間.歷史史實等呈現(xiàn)如表1所示.
3研究方法
采用實證研究方法,通過測試與個別訪談,對學(xué)生“用字母表示數(shù)”問題的解答進行定量與定性分析.
3.1樣本為摸清學(xué)生對“用字母表示數(shù)”內(nèi)容的認(rèn)知情況,2010年9月對上海市某中學(xué)的一個初中預(yù)備班學(xué)生共52人進行測試,收回有效卷52份.該校是上海一所普通中學(xué),每個年級所有班均為平行班,所選樣本基本能夠反映上海市初中學(xué)生的一般情況.
3.2工具測試題的設(shè)定:結(jié)合《全日制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》[13]中對“用字母表示數(shù)”的基本要求,從字母表示數(shù)的具體意義:“記數(shù)符號”“未知量”“一類量”不同層面入手,共設(shè)置4題,測試卷編制如下:試題1:如圖1,游樂場的大轉(zhuǎn)盤的最高點、最低點分別距離地面110米、10米,那么這個大轉(zhuǎn)盤的半徑是多少?試題2:已知圓的周長為r,那么圓的面積是多少?試題3:學(xué)校買了x只足球,每只24元;又買了5只籃球,每只y元,式子24x+5y的意義是什么?試題4:已知兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差,怎樣求這兩個數(shù)?請你設(shè)計一種情形,并給出解決辦法.測試的主要目的是為了解學(xué)生對“用字母表示數(shù)”的理解與運用情況,并由此分析學(xué)生對字母意義的認(rèn)知過程是否與概念歷史發(fā)展過程具有歷史相似性.
4結(jié)果與分析
從整體情況來看,測試結(jié)果反應(yīng)了學(xué)生“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知與運用水平.以下是對測試結(jié)果的逐題分析.
4.11~3題測試結(jié)果及分析(1)測試題1.測試結(jié)果:只有7名學(xué)生使用字母,而7位同學(xué)中只有兩位用字母表示未知量,另外5位只用字母r表示一個表示半徑的字母符號.具體情況如表2所示.對結(jié)果的分析:可以看出對于這類用算術(shù)方法與代數(shù)方法都能解決的問題,絕大多數(shù)(84.6%)的學(xué)生選擇使用算術(shù)方法(不使用字母),屬于符號代數(shù)的初始階段——“修辭代數(shù)”階段;少部分學(xué)生進入了“縮略代數(shù)”階段.從使用字母的水平來看,大體也還停留在較低層次的“記數(shù)符號”的水平上,少部分學(xué)生達到了用字母表示“未知量”的水平.可以看到,雖然學(xué)生經(jīng)過初步學(xué)習(xí)已接觸過“符號代數(shù)”的思想,在教學(xué)要求上進入了“縮略代數(shù)”的階段,但他們更喜歡用“修辭代數(shù)”解決問題.無獨有偶,歷史上,已跨越到“縮略代數(shù)”年代以后的花拉子米(al-Khwārizmi)在撰寫其著作《還原與對消計算概要》時就是純粹采取了修辭代數(shù)的形式,斐波那契(Fibonacci)在《計算之書》中解決問題時也曾出現(xiàn)過類似的情形.而當(dāng)今的學(xué)生在已學(xué)習(xí)“縮略代數(shù)”并已初步接觸“符號代數(shù)”的思想后,仍喜歡采用這種純粹文字,有時顯得冗長、繁瑣的形式(在后面方程題目的解答中有所體現(xiàn))呢?只有一個可能的原因就是這種形式和水平的思維方式更接近人們(無論古人還是當(dāng)今的'學(xué)生)的認(rèn)知本源.此處體現(xiàn)出較強的歷史相似性.對教學(xué)的啟示:教學(xué)中重視學(xué)生的認(rèn)知起點,為實現(xiàn)由修辭代數(shù)到縮略代數(shù)的過渡,教師應(yīng)有意識地設(shè)計此類教學(xué)素材,為他們的思維發(fā)展設(shè)置螺旋前進的階梯.如,在這部分內(nèi)容的教學(xué)中增加諸如:“寫出下列語句對應(yīng)的表達式”或逆向的問題“寫出下列各式的意義”等題目,為順利實現(xiàn)由修辭代數(shù)向符號代數(shù)的過渡做好教學(xué)準(zhǔn)備.(2)測試題2.
測試結(jié)果:分為3類.第一類,將r當(dāng)作圓的半徑并將其視作已知量求得圓面積.具體表現(xiàn):有28位同學(xué)自行將題目中的“周長”二字改為“半徑”,另有兩人雖沒有改寫題目,但從所填結(jié)果看,明顯是將r當(dāng)作圓的半徑.這樣,將r當(dāng)作半徑的學(xué)生總數(shù)就有30人(占總?cè)藬?shù)的57.7%).第二類,利用“周長r”能夠求出正確結(jié)果;第三類,沒有或不能解決問題6人(占11.5%).對結(jié)果的分析:可以看到,超過半數(shù)(57.7%)的學(xué)生對字母意義的理解與使用還停留在“縮略代數(shù)”的較低水平上,認(rèn)為一個字母只能表示某一個確定的量(雖然看到前面的限定詞:周長,但仍認(rèn)為字母r只能代表圓的半徑.),對字母r可以表示任意未知量沒有足夠的認(rèn)識,沒有達到字母可以表示“一類量”的認(rèn)知水平;而能將r當(dāng)作特定未知量并將其運用于計算過程的這一較高認(rèn)知水平的人數(shù)只占到全班人數(shù)的不足三分之一(32.7%).尤其將字母r當(dāng)作圓的半徑的情況,突出反映了在學(xué)生心目中“r”這個字母的符號意義,這與歷史上古人只用某個字母代表某個具體量的做法具有相似性.當(dāng)然,客觀來講,此題也與學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過圓中半徑的字母表示有很大關(guān)系.排除教學(xué)造成的影響和學(xué)生粗心等因素,可以看到:認(rèn)為一個字母只固定表示某一個量對其理解字母意義造成了很大的負(fù)面影響(2011年暑假期間對初中及小學(xué)的兩位數(shù)學(xué)教師的訪談,再次驗證了這一點).另外,也有6人沒有解答此題.(3)測試題3.測試結(jié)果:有8人認(rèn)為24x?5y不能代表什么,或者認(rèn)為這不是一個問題的結(jié)果,無法解釋,也即認(rèn)為式子中的x,y都是未知量,無法知道“具體值”;只有少數(shù)幾人能夠準(zhǔn)確表達式子意義;很多學(xué)生將x,y當(dāng)作相同意義的量:要么都表示球的只數(shù),要么都表示球的價錢,也即他們在對字母表示的量缺乏足夠清晰的認(rèn)識.
對結(jié)果的分析:從結(jié)果可以看到,學(xué)生對字母意義,無論從認(rèn)知水平,還是運用情況,都表現(xiàn)出很多的不足:一是很難將字母x,y看作一類量中的已知量;二是對字母參與運算的結(jié)果不能準(zhǔn)確進行意義建構(gòu).這與學(xué)生對字母表示“一類量”的認(rèn)知不夠清晰,對字母參與運算存在極大的認(rèn)知障礙有著直接的關(guān)系.歷史上數(shù)學(xué)家對一類量的認(rèn)識以及用含有字母的式子表示一個結(jié)果亦是經(jīng)歷了漫長的歷史過程.從認(rèn)知過程看,學(xué)生和歷史上數(shù)學(xué)家對字母意義的理解具有相似性.測試題2、3的測試結(jié)果對教學(xué)的啟示:上述測試結(jié)果顯示了一定的歷史相似性,同時我們也注意到,學(xué)生在向“一類量”的字母意義的跨越方面存在很大的認(rèn)知障礙,這值得引起教學(xué)研究人員及教師的重視.另外針對測試結(jié)果出現(xiàn)的情況,教學(xué)中應(yīng)做到周密設(shè)計,如,強調(diào)圓的半徑一般用r表示,但同時也應(yīng)強調(diào)字母r并不總是用來表示半徑;未知量也可參與運算,其身份是作為待確定的“已知量”等等.綜合3道題的測試結(jié)果,可以看到,學(xué)生對“用字母表示數(shù)”的意義認(rèn)知,對應(yīng)了歷史上“用字母表示數(shù)”的字母意義層面的認(rèn)識演進過程中的發(fā)展水平,3種類型各占一定的比例,具有歷史相似性.而學(xué)生對于字母意義上“一類量”的符號代數(shù)思想缺乏足夠的認(rèn)識,認(rèn)知水平停留在“記數(shù)符號”、“未知量”等的認(rèn)知水平上.學(xué)生在朝向符號代數(shù)的認(rèn)知過程中易出現(xiàn)反復(fù)及循環(huán),如測試題1的結(jié)果.這為研究者從字母意義的歷史演進過程出發(fā)設(shè)計教學(xué)提供了可靠的基礎(chǔ)和較充分的證據(jù).另外在教學(xué)心理的準(zhǔn)備上,教師應(yīng)能充分理解學(xué)生在“一類量”等的認(rèn)知過程中的“緩慢”發(fā)展,因為在歷史上符號代數(shù)的演進過程是如此的漫長,整整跨越了2000年左右的時間!
4.2方程求解問題的結(jié)果與分析試題4取自丟番圖所解方程問題的原題,該題及其解法是反映歷史上符號代數(shù)發(fā)展歷程及人們對字母意義認(rèn)知演進過程的極好素材.
4.2.1該問題的歷史解法①修辭代數(shù)解法:文字表達.②縮略代數(shù)的解法,以丟番圖的解法為代表:設(shè)和為100,差為40,較小數(shù)為x,則較大數(shù)為x+40.這樣就有2x+40=100,從而得x=30.因此兩數(shù)分別為30、70.③符號代數(shù)的解法,以韋達的解法為代表:設(shè)和為a,差為b.又設(shè)較小數(shù)為x,則較大數(shù)為x+b,于是2x+b=a,故得x=(a–b)/2.因此兩數(shù)分別為(a–b)/2、(a+b)/2.
4.2.2學(xué)生解法與歷史解法對照①與“修辭代數(shù)解法”對應(yīng)的學(xué)生解法:使用“修辭代數(shù)”方法解決此題的有11人,占總數(shù)的21.2%.考慮到學(xué)生已經(jīng)接觸過“縮略代數(shù)”的思想——用字母表示未知量,研究者認(rèn)為這一數(shù)字所占比重并不算小.②與“丟番圖解法”對應(yīng)的學(xué)生解法:將這類解法歸為“丟番圖解法”.雖然學(xué)生此類解法較之于“丟番圖解法”有某種程度的進步,這是因為學(xué)生已經(jīng)接觸過解方程的相關(guān)知識,但在字母使用水平上,他們用x,y表示未知量,建立方程求解問題,屬于“縮略代數(shù)”的解決方案.③與“韋達解法”對應(yīng)的學(xué)生解法:使用“一類量”思想,用符號代數(shù)的思想解決問題的人數(shù)為6人,占總?cè)藬?shù)的13.5%.但考慮到學(xué)生還沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)符號代數(shù)的做法與思想,能使用這種做法解決問題,這部分學(xué)生已經(jīng)相較班內(nèi)其他學(xué)生的認(rèn)知水平有了較大的前進與提升.這也給教師以信心:經(jīng)過精心設(shè)計的、系統(tǒng)的教學(xué)與訓(xùn)練,學(xué)生是能夠理解符號代數(shù)思想的.
4.2.3各種方法使用情況統(tǒng)計從以上學(xué)生對該方程的解法與歷史上各個階段典型解法的對比,可以看到學(xué)生對字母表示數(shù)的認(rèn)知發(fā)展水平,與該知識的歷史發(fā)展階段呈現(xiàn)較為明顯的相似性.測試結(jié)果可使教師在設(shè)計教學(xué)時對學(xué)生可能出現(xiàn)的情況做到事先“心中有數(shù)”,并能針對各種不同的做法給出合理的解釋與引導(dǎo).同時,為使學(xué)生更快、更好地理解、運用符號代數(shù)的思想解決問題,借鑒符號代數(shù)的歷史發(fā)展進程設(shè)計教學(xué)應(yīng)是一條可行的、有效的途徑.
5結(jié)論與啟示
5.1基本結(jié)論通過上面對學(xué)生測試結(jié)果的分析,可得出以下結(jié)論:(1)為數(shù)不少的學(xué)生對“用字母表示數(shù)”仍停留在“修辭代數(shù)”和“縮略代數(shù)”階段;對字母意義的認(rèn)知水平多數(shù)停留在“記數(shù)符號”及“未知量”的層次,只有少部分學(xué)生理解并能用“一類量”思想解決問題;(2)學(xué)生對于符號代數(shù)的“一類量”思想存在認(rèn)知困難;(3)學(xué)生對“用字母表示數(shù)”的認(rèn)知發(fā)展過程和“字母表示數(shù)”意義演進的歷史發(fā)展過程之間存在一定的相似性.因此,借鑒字母意義的歷史演進過程設(shè)計教學(xué),將史料及其蘊含的思想、方法等重構(gòu)后應(yīng)用于課堂教學(xué),將能夠有效解決學(xué)生學(xué)習(xí)過程中存在的問題與障礙.
5.2教學(xué)啟示以相似性分析為基礎(chǔ),借鑒歷史對于教學(xué)而言至少有兩方面作用.首先,可有效預(yù)測學(xué)生學(xué)習(xí)中可能會出現(xiàn)的問題、障礙與疑惑;其次,依據(jù)知識形成過程設(shè)計教學(xué)符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.波利亞(GPolya)認(rèn)為,“在教一門科學(xué)分支(理論、概念)時,我們應(yīng)該讓兒童重演人類心理演進的重大步驟.”[14]弗賴登塔爾(HFreudenthal)則說:“從某種意義上說,兒童應(yīng)該重蹈歷史,盡管不是實際發(fā)生的歷史,而是倘若我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西,將會發(fā)生的歷史.”[15]以上教育家和數(shù)學(xué)家所言進一步證實歷史于教學(xué)之重大意義.無疑,這對教材編寫和課堂教學(xué)都有一定的啟示.
5.2.1對教學(xué)內(nèi)容的啟示如何借鑒歷史?對教學(xué)內(nèi)容來講,包括素材與思想,在使用上分別對應(yīng)顯性與隱性兩種方式[16].顯性方式是在教材編寫及教學(xué)實施過程中,直接展示概念的歷史發(fā)展過程及其典型問題等,如丟番圖方程問題等設(shè)計教學(xué).隱性方式則提供了教學(xué)的設(shè)計思想.通過歷史相似性分析,研究者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展如同知識的歷史形成一樣,并非直線推進,其間可能要經(jīng)歷在水平上的“前進與倒退交織,總體向前推進”的過程.這為螺旋設(shè)置教學(xué)內(nèi)容,關(guān)注學(xué)生認(rèn)知發(fā)展過程的螺旋上升提供了借鑒.如,在“用字母表示數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容中增加“修辭代數(shù)”、“縮略代數(shù)”與“符號代數(shù)”3個階段中兩個連續(xù)環(huán)節(jié)之間的銜接過渡,增加在字母意義水平上前后銜接的內(nèi)容,以利于學(xué)生對新知的接納與銜接理解.
5.2.2對教學(xué)順序的啟示借鑒歷史順序.相似性分析可以指明借鑒歷史順序的路徑,包括兩個方面:歷史順序指導(dǎo)教學(xué)順序;從當(dāng)前的概念組成中看歷史演變.斯賓塞(HerbertSpencer)認(rèn)為“對孩子的教育在方式和順序上都必須符合歷史上人類的教育,換言之,個體知識的發(fā)生必遵循人類知識的發(fā)生過程.”[17]德摩根(ADeMorgan)強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)中的歷史次序,認(rèn)為教師在教代數(shù)時,不應(yīng)該一下子把新符號都解釋給學(xué)生,而應(yīng)該讓學(xué)生按歷史順序去學(xué)習(xí)符號.可以看到,符號代數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷3個重要階段,與此同時字母意義也從低到高逐步發(fā)展形成.從現(xiàn)今教材來看,對“字母表示數(shù)”內(nèi)容的呈現(xiàn),基本上遵從了該內(nèi)容的歷史形成過程,以歷史順序呈現(xiàn).但從微觀來看,對字母意義演進的水平層次設(shè)計不夠,這是使得學(xué)生對字母意義認(rèn)知不夠明確、深入、到位的主要原因.
5.2.3對教學(xué)要求的啟示從古到今,人們對新事物的理解、接受都需要一個過程,過程的長短則主要取決于事物的復(fù)雜程度以及人們的認(rèn)知水平.從學(xué)生認(rèn)知過程與歷史發(fā)展過程相似性的結(jié)果可以得出:符號代數(shù)中“用字母表示數(shù)”經(jīng)歷了2000年左右的漫長歷史過程,經(jīng)過一代代數(shù)學(xué)家艱苦卓絕的探索、完善,適得以今天的面貌呈現(xiàn)于世人面前,學(xué)生只靠課堂上短短的幾節(jié)課又如何能夠輕松跨越如此遼遠(yuǎn)的歷史長河?因此,學(xué)生短時間內(nèi)容不能很好地理解、掌握是正常的的教學(xué)行為與結(jié)果!誠如M?克萊因?qū)γ绹?ldquo;新數(shù)運動”的批判:從古代埃及人和巴比倫人開始直到韋達和笛卡兒以前,沒有一個數(shù)學(xué)家能意識到字母可用來代表一類數(shù),但現(xiàn)在卻通過簡單的集合思想馬上產(chǎn)生了集合這個概念[18].因此,教育工作者除了在教學(xué)內(nèi)容、設(shè)計思想等方面做好精心準(zhǔn)備外,對待學(xué)生對知識掌握的時間問題要做到有耐心地“靜待花開”。
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