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軋輥偏心問題的理論分析和冷軋板板帶厚度控制模型(一)
軋輥偏心問題的理論分析和冷軋板板帶厚度控制模型
軋輥偏心問題的理論分析
廣義上說，軋輥和軋輥軸承形狀的不規(guī)則引起輥縫周期性變化稱為軋輥偏心。軋輥偏心會導(dǎo)致軋件厚度周期變化，軋輥的偏心可以歸納為兩種基本類型。一種是由輥身和輥徑的不同軸度引起的偏差所引起的；另一種是由軋輥本身所具有的橢圓度所產(chǎn)生的。而實際情況可能是兩者共同作用的結(jié)果。
輥身和輥徑不同軸的情況
圖2.1 輥身和輥徑不同軸的情況
如圖2.1所示，為輥徑的軸心，為輥身的軸心，為輥身的半徑，X為與之間的距離。偏心運(yùn)動軌跡相當(dāng)于輥身表面可移動點A繞輥徑軸線轉(zhuǎn)動，即偏心波形為的軌跡。設(shè)支承輥轉(zhuǎn)動的角速度為，，在三角形中， 由余弦定理可知：
(2.1)
設(shè)t=0時，＝0，=，。由正弦定理得：
(2.2)
從而有：
(2.3)
因而有軋輥偏心運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為：
(2.4)
根據(jù)以上參數(shù)方程，得軋輥偏心波形如圖2.2所示。
圖2.2 軋輥偏心波形
圖2.3 輥身為橢圓時的示意圖
軋輥具有橢圓度的情況
如圖2.3 所示，o是軋輥的軸心，是理想輥身的半徑，a 和b 分別是實際橢圓截面的長軸和短軸。實際情況可能不是橢圓。偏心波形為橢圓周上可移動點A與理想圓周的徑向距離的軌跡，r為A到軋輥軸心線的距離。設(shè)輥身轉(zhuǎn)動的角速度為，t=0時，，則有:
(2.5)
又由橢圓方程 得 ：
即
從而
因此有
(2.6)
因而得到軋輥偏心曲線方程為
(2.7)
得到的偏心波形類似于圖2.2。
如果兩個輥的角速度相同，那么合成的偏心信號仍然是同頻率的周波。這是因為周期信號可以分解為一系列的正弦波之和。而兩個同頻率的正弦波之和仍是正弦波。設(shè)和為兩個角頻率為的正弦波，其中
(2.8)
則合成的波形為
(2.9)
式中：
(2.10)
(2.11)
合成波形的振幅發(fā)生變化，相位發(fā)生偏移，頻率保持不變。軋輥偏心波形一般不是純粹的正弦曲線，而是包括多次諧波的復(fù)雜的周期波。它有以下特點：⑴ 周期性 軋輥每轉(zhuǎn)動一周，偏心信號重復(fù)出現(xiàn)一次；⑵ 頻率和幅值不是固定不變的。當(dāng)軋制速度變化時，其頻率也隨之成比例變化。在軋制過程中，由于軋輥的熱膨脹和磨損，偏心信號的幅值也會發(fā)生緩慢變化；⑶ 偏心信號不僅含有多次諧波，而且還含有各種各樣的隨機(jī)干擾。
偏心信號的采集和處理
軋輥偏心對厚度的影響可以用出口厚度變化的頻譜分析來評估，斯太爾克利用快速傅立葉變換(FFT)，從出口厚度數(shù)字化信號中分離所有周期分量，并依據(jù)所有軋輥轉(zhuǎn)速和尺寸，能夠辨別出大部分頻譜峰值，通過對頻譜選擇過濾同時結(jié)合反變換FFT技術(shù)，每個軋輥對出口厚度變化的影響都能測量出來。從上面分析中，我們知道軋輥偏心信號是包括多次諧波的高頻周期波，偏心信號的頻率與軋制速度成正比。在生產(chǎn)過程中，由于隨機(jī)噪聲、緩慢變化量等的存在，采集的偏心信號會出現(xiàn)突變、漂移等無規(guī)則變化，但總的偏心信息不會突變。軋輥更換以后，它的偏心量就基本上確定了。，并在短時間內(nèi)不會突變。根據(jù)這一特點，在每次換輥以后，在正常軋制狀態(tài)下，對軋制壓力信號進(jìn)行采集，從中提取偏心成分，建立偏心模型。進(jìn)而對軋輥的偏心進(jìn)行補(bǔ)償。
將采集到的軋制力信號進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換，然后進(jìn)行去均值(去掉直流分量)和相干時間平均處理，使噪聲干擾得以減弱或消除，提高信噪比；對預(yù)處理后的信號進(jìn)行快速傅立葉變換(FFT)，建立軋輥偏心參數(shù)模型。在軋輥上安裝一個光碼盤，以產(chǎn)生兩列脈沖。一列相對軋輥某一固定點，每轉(zhuǎn)一周發(fā)出一個脈沖，此脈沖作為采樣和控制的初始定位信號；另一列是軋輥每轉(zhuǎn)一周，光碼盤發(fā)出128個脈沖數(shù)列以進(jìn)行FFT，建立模型。相干時間平均方法適應(yīng)于周期信號或重復(fù)信號，它將各個周期信號和噪聲信號同時疊加后加以平均，如果噪聲是隨機(jī)的，則在疊加過程中會相互抵消，而信號是有規(guī)律的，疊加平均后幅值不變。必要條件是噪聲應(yīng)具有一定隨機(jī)性，而信號則具有重復(fù)性，且兩者互不相干。
設(shè)混有噪聲的信號為，信號反映系統(tǒng)的某種基本特征。在相同的條件下，具有重復(fù)性。噪聲為均值為零，方差為的平穩(wěn)隨機(jī)信號，且、互不相關(guān)。對第i個樣本采樣M次，然后做相干平均得：
(2.12)
傅立葉變換是在以時間為自變量的信號與以頻率為自變量的頻譜函數(shù)之間的變換關(guān)系。傅立葉變換可以辨別出或區(qū)分出組成任意波形的一些不同頻率的正弦波�？焖俑读⑷~變換是建立在離散時間概念上的，它不單純是對離散時間付立葉變換的近似，而是從離散付立葉變換出發(fā)，有一整套自成體系的、 離散時間域中的嚴(yán)格的基本定理和數(shù)學(xué)關(guān)系。離散付立葉變換能把一個有限長度序列映射成另一個有限長度序列，因而很適合于數(shù)字計算機(jī)計算。利用離散付立葉變換的一些代數(shù)結(jié)構(gòu)，可以實現(xiàn)高速算法，快速付立葉變換能使離散付立葉變換的計算時間成數(shù)量級的縮短�？焖俑读⑷~變換的出現(xiàn)使付立葉變換已不僅僅是一種理論概念，而且成為一種技術(shù)手段。
⑴ 離散付立葉變換[65 ,66]
當(dāng)用數(shù)字計算機(jī)對信號進(jìn)行頻譜分析時，要求信號必須以離散值作為輸入，而計算機(jī)輸出所得的頻譜值，自然也是離散的。因此，必須針對各種不同形式信號的具體情況，或者在時域和頻域上同時取樣，或者在時域上取樣，或者在頻域上取樣。信號在時域上取樣導(dǎo)致頻域的周期函數(shù)，而在頻域上取樣導(dǎo)致時域的周期函數(shù)，最后將使原時間函數(shù)和頻率函數(shù)都成為周期離散的函數(shù)。
從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義上講，離散周期序列的付立葉變換是不存在的。但是，如果利用周期函數(shù)可能展開為付立葉級數(shù)的指數(shù)形式并使用沖激序列，則可以把付立葉級數(shù)逐項作積分變換，從而在形式上得到付立葉變換對。
設(shè)為一周期連續(xù)信號，如果以抽樣間隔為的抽樣率進(jìn)行抽樣，抽樣結(jié)果為，則可表示為：
(2.13)
設(shè)一個周期內(nèi)的抽樣點數(shù)為，即到，則
可寫成：
于是有：
(2.14)
對進(jìn)行抽樣等于先將它的一個周期抽樣成，然后把這一個周期進(jìn)行延拓。所以有：
(2.15)
式中上的符號表示周期重復(fù)，它是離散時間周期沖激序列，是的一個周期內(nèi)抽樣所得的數(shù)值；為抽樣序號，；為抽樣間隔；為的周期；為任意整數(shù)。
令，并將展開成付立葉級數(shù)
(2.16)
式中：，的單位為，系數(shù)可表示為：
(2.17)
因積分限只從0到，所以，于是。將式(2.15)代入式(2.14)得：
(2.18)
對式（2.18）進(jìn)行付立葉變換得：
(2.19)
定義
(2.20)
由于
所以。這里是的個周期，。也就是說的周期為，在每個周期內(nèi)，。于是，式(2.20)可寫成：
(2.21)
上式說明，周期離散時間序列經(jīng)付立葉變換后在頻域中是離散頻率的周期序列，這種形式的變換也稱為離散付立葉級數(shù)變換。在數(shù)學(xué)上，離散周期序列的付立葉級數(shù)變換可簡明表示為：
(2.22)
(2.23)
為了方便，令，則式(2.22)和式(2.23)可表示為：
(2.24)
(2.25)
離散付立葉級數(shù)變換是周期序列，仍不便于計算機(jī)計算，但離散付立葉級數(shù)每個周期序列卻只有(一個周期內(nèi)取點個數(shù))個獨(dú)立的復(fù)值，只要知道它的一個周期的內(nèi)容，其它的內(nèi)容也就知道了。同時限制式(2.24)中的和式(2.25)中的都只在區(qū)間內(nèi)取值，就得到了一個周期的和一個周期的之間的對應(yīng)的關(guān)系：
(2.26)
(2.27)
這就是有限長序的離散付立葉變換對。
上兩式所示的離散付立葉變換對可以看成是連續(xù)函數(shù)在時域、頻域取樣所構(gòu)成的變換，可以看作是連續(xù)付立葉變換的近似，是一種很有用的變換方法。然而，當(dāng)數(shù)據(jù)有較長的長度時，這種變換的計算量是很大的。分析式(2.26) 和式(2.27)可知，當(dāng)用直接方法計算DFT時，總運(yùn)算量及總運(yùn)算時間近似地比例于，這在很大時，所需的運(yùn)算量及總算時間近似地比例于，這在很大時，所需的運(yùn)算量非�？捎^，要想用DFT方法對信號作實量處理一般是有困難的。
⑵ 快速付立葉變換(FFT)
快速付立葉變換是為減少DFT計算次數(shù)的一種快速有效的算法。它使DFT的運(yùn)算大為簡化，運(yùn)算時間一般可縮短一至二個數(shù)量級，其突出的優(yōu)點在于能夠快速高效地和比較精確地完成DFT的計算。
FFT改善DFT運(yùn)算效率的基本途徑是利用DFT中的權(quán)函數(shù)所固有的兩個特性，一個是的對稱性，即，另一個是的周期性，即。利用的對稱性，可根據(jù)正弦和余弦函數(shù)的對稱性來歸并DFT中的某些項，結(jié)果可使乘法次數(shù)約減少一半。假定是一個高復(fù)合數(shù)，可利用權(quán)系數(shù)的周期性，把點DFT進(jìn)行一系列分解和組合，使整個DFT的計算過程變成一個系列迭代運(yùn)算過程。因為迭代運(yùn)算的計算量要比直接計算的計算量少很多，尤其是當(dāng)很大時，可能成百位甚至成千倍地減少�？焖俑读⑷~變換算法正是基于這一基本思想而發(fā)展起來的。權(quán)系數(shù)的周期性是導(dǎo)出FFT算法的一個關(guān)鍵因素，高復(fù)合性則是實現(xiàn)FFT算法的一個重要條件。根據(jù)不同的分解方法，可以導(dǎo)出多種FFT算法，如按時間抽取的FFT算法，按頻率抽取的FFT算法，的高復(fù)合性則是實現(xiàn)FFT算法的一個重要條件。根據(jù)不同的分解方法，可以導(dǎo)出多種FFT算法，如按時間抽取的FFT算法，按頻率抽取的FFT算法，為復(fù)合數(shù)的FFT算法等。時域抽點算法的迭代過程是基本在每級把輸入時間序列分解為兩個更短的子序列，頻域抽點算法的迭代過程則基于在每級把輸出頻率序列分解成兩個更短的子序列。
以2為基時域抽點FFT算法是最基本最常用的算法，基2算法要求采樣點數(shù)為2的整數(shù)次冪。設(shè)有一個點序列，而，首先將按序號之奇偶分解為兩個點的子序列，因而得：
(2.28)
如采用下列變量替換：(當(dāng)為偶數(shù)時)，(當(dāng)為奇數(shù)時)，則上式可變?yōu)椋?br />
(2.29)
又因
所以上式又可改寫為：
(2.30)
由于對于均有定義，而及只對有定義，因此，有必要就情況下對2.30作出說明。根據(jù)DFT的周期性可得：
(2.31)
考慮到：
則上式可改寫為：
(2.32)
經(jīng)整理后得：
(2.33)
式中：和可分別寫成序列和的點DFT。
式(2.33)表明，一個點DFT可分解成兩個點DFT，而這兩個點DFT又可組合成為一個點DFT，效果是相同的，但是運(yùn)算量卻大不相同。很明顯，如果以一次復(fù)乘和一次復(fù)加稱為一次運(yùn)算，那么，計算兩個點DFT約共需運(yùn)算，此外再加上按式(2.33)組合需要次運(yùn)算，所以按先分解后組合的方式計算一個點DFT總共約需次運(yùn)算。當(dāng)較大(即)時，它的運(yùn)算量比直接運(yùn)算點的DFT約可減少一半。
因為是2的冪，所以可進(jìn)一步將每個點子序列按奇偶號分解為兩個點子序列，再令每兩個點子序列組合成一個點DFT……。上述分解過程還可繼續(xù)進(jìn)行，直到第次分解，每個子序列都只有兩點。這樣，就把點DFT的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為級組合運(yùn)算，M級組合就是M級迭代過程。每次迭代要求N/2次復(fù)乘和N次復(fù)加，M級迭代約需次復(fù)乘和次復(fù)加。每次迭代要求次復(fù)乘和點DFT的迭代運(yùn)算過程是基于在每級把輸入時間序列分解成兩個更短的子序列，因此稱為時域抽點算法。圖2.4 說明了此迭代運(yùn)算過程。
圖 2.4 N點基2 FFT的M級迭代過程
經(jīng)過FFT變換結(jié)果，就可以計算出各次諧波的振幅和相角，從而建立軋輥的偏心模型，其振幅A＝，相角，頻率隨軋輥速度變化而變化。
偏心模型還必須轉(zhuǎn)換為與采集脈沖對應(yīng)的離散點的模型，即將帶有三個參數(shù)的正弦波偏心模型轉(zhuǎn)換成128個脈沖對應(yīng)的離散點模型。軋輥偏心控制對檢測和控制系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和快速性要求很高，定位定點采樣保證了通過數(shù)據(jù)處理獲得的偏心模型的唯一性和準(zhǔn)確性。把正弦波的一個周期分成N段，列成表格，用步長DELTA掃過這個表，用序號作為角度參數(shù)，查表求出序列的值。假設(shè)每兩個采樣點之間的時間間隔維t，則正弦頻率為。當(dāng)步長不是整數(shù)時，采用點可能落在兩表值之間，可以采用線性內(nèi)插法加以修正。
⑶ 基2時域FFT算法的改進(jìn)(MMFFT)
針對軋輥偏心信號本身及其控制問題的特點，對傳統(tǒng)的基2時域FFT算法進(jìn)行改進(jìn)(MMFFT)。改進(jìn)分兩部，第一步改進(jìn)的是取消傳統(tǒng)FFT方法對采樣持續(xù)時間的限制，使快速付立葉變換算法適用于處理軋輥偏心波動這類周期未知或變動的周期信號，同時又能抑制FFT固有的泄漏效應(yīng)。第二步改進(jìn)是就偏心控制問題而言，將周期信號中各次正弦波的絕對頻率轉(zhuǎn)換為相對頻率，從而提高算法在偏心控制中應(yīng)用的可靠性和實用性。
① 第一步改進(jìn)(Modlified FFT)
人們對DFT感興趣主要是因為它是連續(xù)付立葉變換的一個近似。近似的準(zhǔn)確程度嚴(yán)格說來是被分析波形的一個函數(shù)，兩個變換之間的差異是因DFT需要對連續(xù)時間信號取樣和截斷而產(chǎn)生的。因而在應(yīng)用DFT解決實際問題時，常常遇到混疊效應(yīng)、柵欄效應(yīng)和泄漏效應(yīng)等問題。
對一個連續(xù)信號x(t)進(jìn)行數(shù)字處理時，要在計算機(jī)上進(jìn)行計算，而計算機(jī)的輸入只允許是數(shù)字信號，所以必須對連續(xù)信號x(t)進(jìn)行抽樣，即
(2.34)
式中：為對x(t)抽樣所形成的序列。T為抽樣間隔，為抽樣率，。如果抽樣率選得過高，即抽樣間隔過小，則一定的時間里抽樣點數(shù)過多，造成對計算機(jī)存貯量的需要過大和計算時間太長。但如果抽樣率過低，則在DFT運(yùn)算中將在頻域出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，形成頻譜失真，使之不能反映原理的信號。這樣將使進(jìn)一步的數(shù)字處理失去依據(jù)，而且也不能從這個失真的頻譜中恢復(fù)出信號來。因此，對連續(xù)信號的抽樣率需大于奈奎斯特頻率，即抽樣率至少應(yīng)等于或大于信號所含有的最高頻率的兩倍，即。
如果x(t)是一個周期信號，它只具有離散頻譜，那么，x(t)抽樣后進(jìn)行FFT運(yùn)算得出的頻譜就是它的離散頻譜。但是如果x(t)是個非周期函數(shù)，它的頻譜是連續(xù)的，把x(t)的抽樣進(jìn)行DFT運(yùn)算得到的結(jié)果就只能是連續(xù)頻譜上的若干點。因為這就好象是從柵欄的一邊通過縫隙觀看另一邊的景象一樣，所以稱這種效應(yīng)為柵欄效應(yīng)。如果不附加任何特殊處理，則在兩個離散的變換線之間若有一特別大的頻譜分量，將無法檢測出來。減少柵欄效應(yīng)的一個方法就是在原記錄末端填加一些零值變動時間周期內(nèi)的點數(shù)，并保持記錄不變。這實質(zhì)上是人為地改變了周期，從而在保持原有線連續(xù)形式不變的情況下，變更了譜線的位置。這樣，原來看不到的頻譜分量就能夠移動到可見的位置上。
泄漏效應(yīng)是由于在時域中對信號進(jìn)行截斷而引起的。實際問題中，所遇到的離散時間序列x(nT)可能是非時限的，而處理這個序時時，需要將其限制為有限的N點，即將它截斷。這就相當(dāng)于將序列乘以一個矩形窗口，如果對有限帶寬的周期函數(shù)抽樣后的截斷長度并不正好是其周期的整數(shù)倍，就會導(dǎo)致離散付立葉變換和連續(xù)付立葉變換之間出現(xiàn)顯著的差異。這是因為，根據(jù)頻域卷積定理，時域中的，則頻域中與進(jìn)行卷積。這里，和分別是的付立葉變換，這樣將使截斷后的頻譜不同于它加窗以前的頻譜。泄漏效應(yīng)的產(chǎn)生是由于矩形窗函數(shù)的付立葉變換中具有旁瓣亦有一定帶寬而引起的。如圖2.5所示。為了減少泄漏，應(yīng)盡量尋找頻譜中窗函數(shù)，即旁瓣小、主瓣窄的窗函數(shù)�；蛘咄ㄟ^限制采樣的持續(xù)時間來抑制泄漏效應(yīng)。
圖2.5 矩形窗口的時域與頻域圖形
對于待分析信號，由于時域中的截斷是必須的，所以泄漏效應(yīng)是離散付立葉變換所固有的。在實際問題中，由于待分析信號的周期往往是未知的或變化的，因而通過對采樣持續(xù)時間的限制而求得正確結(jié)果，往往是十分困難的。軋制過程中的軋輥偏心信號就是如此。這了解決這一問題，采用內(nèi)插計算法修正FFT的計算結(jié)果，使之更適合于一般的場合。
考慮一周期復(fù)函數(shù)，在每一為采樣持續(xù)時間，N為采樣個數(shù))時采樣，得到抽樣函數(shù)。
(2.35)
式中：….，N~1)
通過傳統(tǒng)FFT的計算，可以得到對應(yīng)于以為間隔頻率的離散付立葉變換的結(jié)果，即
() (2.36)
一般說來，這些的值并不能準(zhǔn)確地代表中各周期分量的幅值和頻率的復(fù)數(shù)值。
將(2.35)代入式(2.36)并整理可得：
(2.37)
從式(2.37)中并不能看出之間的直接關(guān)系。但是，當(dāng)采樣的持續(xù)時間為信號周期的整數(shù)倍時，即時，則有
(2.38)
這里，假設(shè)是一個很小的數(shù)。
如果忽略式(2.38)中帶有的項，則有。只有在上述情況下，近似地得到之間的關(guān)系。通常情況下，采樣的持續(xù)時間不是信號周期的整數(shù)倍，為此引入一個參數(shù)，使得信號的頻率可以用下式表示：
(2.39)
此時對應(yīng)于頻譜中的，當(dāng)，可由式(2.38)得出
(2.40)
當(dāng)忽略了式(2.40)中帶有的項時，有
(2.41)
同理，對于相鄰兩點有：
(2.42)
(2.43)
設(shè) (2.44)
則由式(2.41)、式(2.42)、式(2.43)和式(2.44)可得：
(2.45)
式中Zk定義為：
(2.46)
從式(2.46)中Zk的實部和虛部的值，可以確定的值，從而可以確定復(fù)頻率：
(2.47)
又由式(2.46)可得：
(2.48)
最后，根據(jù)式(2.41)、式(2.42)和式(2.43)可得出當(dāng)采樣的持續(xù)時間不是信號周期的整數(shù)倍時，周期分量的復(fù)振幅為：
(2.49)
② 第二步改進(jìn)(Modified MFFT)
如前所述，經(jīng)過第一步改進(jìn)后的快速付立葉變換算法用
(2.50)
確定第k次諧波的角頻率，0<<1，T為采樣持續(xù)時間，是周期分量的絕對頻率。然而，就偏心控制問題而言，軋輥偏心信號的絕對頻率是隨著軋制速度的改變而變化的。在速度變化較大或速度變化頻繁時，再以絕對頻率做為偏心模型參數(shù)，不僅不方便，而且會影響信號處理結(jié)果和控制結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性�？紤]借助于某種儀表，把支持輥每轉(zhuǎn)一周的采樣點數(shù)固定，將絕對頻率的計算轉(zhuǎn)換為信號相對于支持輥轉(zhuǎn)速的相對頻率的計算。
假設(shè)信號采樣周期為，總的采樣點數(shù)為，那么總的采樣持續(xù)時間可表示為：
(2.51)
又假設(shè)支持輥每轉(zhuǎn)一周，固定的采樣點數(shù)為，那么軋輥轉(zhuǎn)動的角頻率可以表示為：
(2.52)
由上兩式就可以得出偏心信號與支持輥之間的相對頻率
(2.53)
利用式(2.53)計算的頻率值作為軋輥偏心模型參數(shù)之一，不僅使信號檢測過程更方便，信號處理結(jié)果更可靠。而且更有利于控制方案的制訂和實施。
MMFFT算法流程圖如圖2.6所示。
應(yīng)用MMFFT方法的偏心控制方案
如前上述，在軋機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，支持輥偏心反映在輥縫、軋制壓力和帶鋼厚度上，是一復(fù)雜的高頻周期波，其變化幅度取決于軋輥偏心量的大小，其變化頻率與軋機(jī)的主機(jī)速度成正比，即此偏心信號的變化周期是隨軋速度的變化而變化的。為此，采用改進(jìn)的快速付立葉變換算法(MMFFT)來檢測此偏心信號，獲得信號中所含各次正弦波的幅值、頻率和相角，建立偏心模型，進(jìn)而實施控制。
基于以上分析，采用預(yù)先模型識別與在線參數(shù)自動修正相結(jié)合的方法，實現(xiàn)偏心模型的檢測與偏心影響的在線補(bǔ)償。
⑴ 第一種方案
首先，在軋輥預(yù)壓靠時，對壓力儀測出的軋制壓力信號進(jìn)行采樣。然后，運(yùn)用MMFFT對該采樣信號進(jìn)行運(yùn)算處理，根據(jù)產(chǎn)品精度要求，取出一定次數(shù)的基波和諧波分量，作為支持輥偏心在軋制壓力信號上的反映，通過軋制壓力與輥縫的關(guān)系，得出軋輥偏心信號的原始模型，該模型即為以后控制的基礎(chǔ)。在預(yù)壓靠時取原始模型具有一些優(yōu)點，如可以減少帶鋼的浪費(fèi)，保證在正常軋制開始的同時，偏心控制器也投入也運(yùn)行。此外，由于預(yù)壓靠時不存在來料厚度、硬度波動和張力變化等一系列干擾因素的影響，有利于提高模型檢測的精度。當(dāng)然，這樣做也有其自身的問題，這是因為壓靠時的軋機(jī)狀態(tài)、軋輥受力情況等均與正常軋制時有差程度，即壓到一定的壓力，然后將此時的輥縫指示定為零位，這就是所謂的“零位調(diào)整”。以后即以此為基礎(chǔ)進(jìn)行壓下調(diào)整。這樣軋件的出口厚度就變成：
(2.68)
式中：S是考慮預(yù)壓變形的等效空載輥縫，單位為毫米。
在對軋機(jī)進(jìn)行理論分析時，常將上式所表達(dá)的出口厚度隨軋制壓力P的變化規(guī)律用曲線形式反映出來，同時將軋件的塑性變形規(guī)律，即式(2.68)所表示的軋制壓力與出口厚度關(guān)系，也在同一張圖中繪出(如圖2.9所示)。該圖就稱為軋機(jī)的彈塑性曲線，或簡稱為P~H圖。P~H圖非常直觀的表達(dá)了軋制過程的各種關(guān)系，是分析帶鋼厚度變化和厚度控制問題一個重要工具。
⑶ 前滑和速度方程
軋件在軋輥間發(fā)生塑性變形時，要相對于軋輥發(fā)生向前和向后的滑動，實際軋件的入、出口速度不等于軋輥的線速度， 因而產(chǎn)生所謂的前后滑現(xiàn)象。
軋件的出口速度與軋輥的圓周速度(即通常所說的軋輥速度)以及前滑系數(shù)之間的關(guān)系為：
(2.69)
前滑系數(shù)f可以用Dresden公式描述。
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