構(gòu)造函數(shù)法在解題中的應用
摘要：函數(shù)思想是數(shù)學思想的有機組成部分,它在數(shù)學解題中的應用越來越廣泛。本文就構(gòu)造函數(shù)這一方法在不等式、數(shù)列、方程有解及恒成立問題等方面的應用舉例說明。
關鍵詞：函數(shù)思想；構(gòu)造函數(shù)；不等式；方程；應用
函數(shù)思想，指運用函數(shù)的概念和性質(zhì)，通過類比聯(lián)想轉(zhuǎn)化合理地構(gòu)造函數(shù)，然后去分析、研究問題，轉(zhuǎn)化問題并解決問題。因此函數(shù)思想的實質(zhì)是用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象其數(shù)量特征，建立函數(shù)關系。
函數(shù)思想在數(shù)學應用中占有重要的地位，應用范圍很廣。函數(shù)思想不僅體現(xiàn)在本身就是函數(shù)問題的高考試題中，而且對于諸如方程、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等問題也常常可以通過構(gòu)造函數(shù)來求解。
根據(jù)需要，構(gòu)造輔助函數(shù)是高等數(shù)學中一種常用的方法，這種方法也已滲透到中學數(shù)學中。首先解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，用函數(shù)的觀點加以分析，�？墒箚栴}變得明了，從而易于找到一種科學的解題途徑。其次數(shù)量關系是數(shù)學中的一種基本關系�，F(xiàn)實世界的復雜性決定了數(shù)量關系的多元性。因此，如何從多變元的數(shù)量關系中選定合適的主變元，從而揭示其中主要的函數(shù)關系，有時便成了數(shù)學問題能否“明朗化”的關鍵所在。下面我們舉例說明構(gòu)造函數(shù)的方法在解題中的應用。
一、構(gòu)造函數(shù)解決有關不等式的問題
有些不等式證明和比較大小的問題，如能根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應的函數(shù)，從函數(shù)的單調(diào)性或有界性等角度入手，去分析推理，證明過程就會簡潔又明快。
例1：若 ，則 的大小關系是 。
分析：式中各項的結(jié)構(gòu)相同，只是字母不同，故可構(gòu)造函數(shù) 進行判斷。
解：構(gòu)造函數(shù) ，易證函數(shù) 在其區(qū)間 是單調(diào)遞增函數(shù)。
例2(2008年山東理)：已知函數(shù) 其中 為常數(shù)。當 時，證明：對任意的正整數(shù) ，當 時，有
證法一：因為 ，所以 。
當 為偶數(shù)時，令 則 （ ）所以 當 時， 單調(diào)遞增。又 ，因此 恒成立，所以 成立。當 為奇數(shù)時，要證 ，由于 ，所以只需證 ，令 ，則 （ ），所以，當 時， 單調(diào)遞增，又 ，所以當 時，恒有 ，即 命題成立。
綜上所述，結(jié)論成立。
證法二：當 時， ，當 時，對任意的正整數(shù) ，恒有 ，故只需證明 。令 則 ，當 時， ，故 在 上單調(diào)遞增，因此 當 時， ，即 成立。故 當 時，有 ，即 。
試題分析：第二問需要對構(gòu)造的新函數(shù) 進行“常規(guī)處理”，即先證單調(diào)性，然后求最值，最后作出判斷。
評注：函數(shù)類問題的解題方法要內(nèi)悟、歸納、整理，使之成為一個系統(tǒng)，在具體運用時自如流暢，既要具有一定的思維定向，也要謹防盲目套用。函數(shù)與不等式之間如同一對孿生兄弟，通過對不等式結(jié)構(gòu)特征的分析，來構(gòu)造函數(shù)模型，常�？梢允盏匠銎嬷苿俚男Ч４祟悊栴}對轉(zhuǎn)化能力要求很高，不能有效轉(zhuǎn)化是解題難以突破的主要原因，要善于構(gòu)造函數(shù)證明不等式，從而體現(xiàn)導數(shù)的工具性。
二、構(gòu)造函數(shù)解決數(shù)列中的有關問題
數(shù)列的實質(zhì)是函數(shù),用函數(shù)思想解數(shù)列問題能夠加深對數(shù)列概念及公式的理解,加強知識點間的聯(lián)系.
例3：在等差數(shù)列中，已知 Sp = q , Sq = p ( p ≠q) , 求 Sp+q 的值。
略解：因為 是n的一次函數(shù)，點( n , ) 共線，所以點 （p , ） , ( q , ) , ( p + q , ) 共線， 則有 化簡即得 Sp+q = －( p + q ) 。
例4：等差數(shù)列{ }的首項 ,前 項的和為 ,若 ,問 為何值時 最大?
簡析:運用數(shù)列中的通項公式的特點,把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決。
解:依題意,設此函數(shù)是以 為自變量的二次函數(shù)。
故二次函數(shù) 的圖象開口向下當 時, 最大,但 中, 當 為偶數(shù)時, 時, 最大當 為奇數(shù)時, 時, 最大。
三、構(gòu)造函數(shù)解決方程有解、無解及若干個解的問題
方程有解、無解問題可以用“變量分離法”轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，或直接構(gòu)造函數(shù)。
例5(2010上海文科數(shù)學)：若 是方程式 的解，則 屬于區(qū)間()
A. （0，1） B.（1，1.25） C.（1.25，1.75） D.（1.75，2）
解析：
知 屬于區(qū)間（1.75，2）
例6（2010天津文科數(shù)學）：設函數(shù)f(x)=x- ,對任意 恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________。答案：m<-1
已知f（x）為增函數(shù)且m≠0，
若m>0，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知 和 均為增函數(shù)，此時不符合題意。
M<0，時有 因為 在 上的最小值為2，所以1+ 即 >1,解得m<-1。
點評：本題是較為典型的恒成立問題，解決恒成立問題通常可以利用分離變量。
例7：已知函數(shù) ，是否存在實數(shù) ，使得 的圖象與 的圖象有且只有三個不同的交點，若存在，求出 的取值范圍，若不存在，說明理由。
解：函數(shù) 的圖象與 的圖象有且只有三個不同的交點，即構(gòu)造函數(shù)。的圖象與 軸的正半軸有且只有三個不同的交點。當 時， 是增函數(shù)； 當 時， 是減函數(shù)；當 時， 是增函數(shù)； 當 或 時， 當 充分接近0時， 當 充分大時， 要使 的圖象與 軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須所以存在 ，使得函數(shù) 與 的圖象有且只有三個不同的交點。
四、構(gòu)造函數(shù)解決幾何問題
在幾何問題中, 我們往往會遇到求夾角的最值和求線段的最短(長)距離等問題，如果僅從幾何方面去思考,往往使問題難以解決, 倘若能夠靈活地運用構(gòu)造函數(shù)方法, 從而使幾何問題“柳暗花明”。
例8（2010福建文科數(shù)學）：若點O和點F分別為橢圓 的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則 的最大值為
A．2 B．3 C．6 D．8
解析：由題意，F(xiàn)（-1，0），設點P ，則有 ,解得 ，因為 ， ，所以= = ，此二次函數(shù)對應的拋物線的對稱軸為 ，因為 ，所以當 時， 取得最大值 ，選C。
從以上幾例的解答中，我們已初步看到了函數(shù)思想的應用，函數(shù)思想的應用想當廣泛，但這些方面都涉及到最基礎知識，只要在學習中扎扎實實地掌握基礎知識，學會全面地分析問題，并注意在解題中不斷總結(jié)經(jīng)驗，就一定會真正掌握運用函數(shù)思想解題的思路和方法，從而收到事半功倍的效果。
參考文獻：
[1]郭靜莉.構(gòu)造函數(shù)法在高等數(shù)學解題中的應用[J].赤峰學院學報(科學教育版)，2011(2).
[2]李智. 淺談高等數(shù)學解題中構(gòu)造函數(shù)法的應用[J].科技資訊，2008(16).
Abstract: Functional idea is an organic ingredient in mathematics idea and it is widely used in mathematics problem-solving. This paper analyzes the application of constructed function approach in inequality, progression, the existence of the solution and constant established.
Key words: functional idea; constructed function; inequality; equation; application
【構(gòu)造函數(shù)法在解題中的應用】相關文章：
小議用圖像法解方法03-27
功效考核法創(chuàng)新應用分析03-27
微課程在經(jīng)濟法教學的應用11-14
淺析長期股權(quán)投資成本法與權(quán)益法的應用03-29
標識定位法在肥胖患者靜脈采血中的應用03-28
臨時冠在二次排齦法中的應用02-21
談水試法在中藥鑒定實踐中的應用03-04
小組考核法在護理技能實訓教學中的應用11-18
改進標號法在網(wǎng)絡計劃技術中的應用的論文03-17
- 相關推薦