CL多小波預(yù)處理方法在故障數(shù)據(jù)壓縮中的應(yīng)用電子學(xué)論文

　　1 引言

　　多小波分析是一種基于小波理論的近幾年發(fā)展起來(lái)的新理論，多小波可同時(shí)具有對(duì)稱性、正交性、短支撐性、高階消失矩等屬性，而這些屬性是傳統(tǒng)實(shí)系數(shù)小波不能同時(shí)具有的[1]。多小波有許多構(gòu)造方法，如Geronimo等人[2]應(yīng)用分形插值方法構(gòu)造了具有短支撐、正交性、對(duì)稱性和二階消失矩屬性的GHM多小波，Chui等人[3]利用多小波的正交性、緊支撐性、對(duì)稱性和插值性構(gòu)造了CL(Chui-Lian)多小波，Jiang[4]利用時(shí)頻分析中的窗函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造了具有最優(yōu)時(shí)頻分辨率的Jiang系列多小波，Mariantonia Cotronei等人[5]利用Hurwitz塊矩陣和Gram矩陣構(gòu)造了半正交多小波。本文在介紹CL多小波理論的基礎(chǔ)上，深入探討了CL多小波的預(yù)處理方法，并將其應(yīng)用于電力系統(tǒng)正弦信號(hào)數(shù)據(jù)和故障暫態(tài)數(shù)據(jù)的壓縮，還比較了GHM多小波與CL多小波的數(shù)據(jù)壓縮效果。

　　2 CL多小波的基本理論

　　小波分析中的多分辨率即是將平方可積信號(hào)f∈L2(R) 的逐級(jí)逼近視為采用低通平滑函數(shù)φ(t) 對(duì)f(t) 作平滑濾波的結(jié)果，且逐級(jí)逼近時(shí)平滑函數(shù)φ(t)也作逐級(jí)伸縮。一個(gè)多分辨率分析由一個(gè)尺度 函數(shù)生成，且包含一個(gè)經(jīng)平移與伸縮構(gòu)成L2(R) 空 間基的小波函數(shù)。類似地，多小波分析中也存在多分辨率分析，一個(gè)多分辨率分析由多個(gè)尺度函數(shù)生成，且包含多個(gè)經(jīng)平移與伸縮構(gòu)成L2(R) 空間基的 小波函數(shù)，這些小波函數(shù)即稱為多小波[6]。

　　多小波的多尺度函數(shù)φ(t)和多小波函數(shù)Ψ(t)滿足以下二尺度矩陣方程[3]

　　式中 0≤k≤L ，Hk 和Gk 為r×r維系數(shù)矩陣;L為多小波濾波器長(zhǎng)度;r為多小波維數(shù)。根據(jù)多小波的多分辨率分析，有如下快速多小波分解與重構(gòu)公式[7]

式中

為多小波分解和重構(gòu)的低頻系數(shù);

為多小波分解和重構(gòu)的高頻系數(shù);

分別為Hk 和Gk 的復(fù)共軛矩陣。

　　位于區(qū)間[0,2]上的CL多小波的兩個(gè)尺度函數(shù)φ1(t)、φ2(t)和兩個(gè)小波函數(shù)Ψ1(t)、Ψ2(t)的支撐區(qū)間均為[0,2];位于區(qū)間[0,3]上的CL多小波的兩個(gè)尺度函數(shù)φ1(t)、φ2(t)和兩個(gè)小波函數(shù)Ψ1(t)、Ψ2(t)的支撐區(qū)間均為[0,3]。為方便起見(jiàn)，作者根據(jù)Daubechies系列小波的定義方式，將上述兩種CL多小波暫稱為CL3多小波和CL4多小波(即它們的濾波器長(zhǎng)度分別為3和4)，CL4多小波的濾波器系數(shù)矩陣[3]為

　　式中 H0 、H1 、H2 、H3 為低通濾波器系數(shù)矩陣;G0 、G1 、G2 、G3 為高通濾波器系數(shù)矩陣;下標(biāo)0、1、2、3表示系數(shù)矩陣的次序，與傳統(tǒng)小波的濾波器系數(shù)序列相同;S=diag[1,-1] 。

　　根據(jù)多小波的尺度矩陣方程繪出CL4多小波的尺度函數(shù)φ1(t)、φ2(t)和小波函數(shù)Ψ1(t)、Ψ2(t)的時(shí)域波形和頻域響應(yīng)波形分別如圖1和圖2所示。

　　與傳統(tǒng)小波相比，CL多小波具有更為優(yōu)良的屬性：CL多小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)均具有緊支撐屬性，使其具有良好的局域性;兩個(gè)尺度函數(shù)分別與兩個(gè)小波函數(shù)對(duì)稱和反對(duì)稱，保證其具有線性相位;CL多小波是正交的，使其變換后保持能量衡定;CL3多小波具有二階逼近階，CL4多小波具有三階逼近階，使其具有良好的逼近性能，GHM多小波與CL4多小波相似，濾波器長(zhǎng)度均為4，但其逼近階僅為二階。

　　3 CL多小波的預(yù)處理方法

　　3.1 采用預(yù)處理方法的必要性

　　與傳統(tǒng)小波相比，多小波在實(shí)際應(yīng)用中必須解決的關(guān)鍵問(wèn)題是對(duì)原始信號(hào)的預(yù)處理。預(yù)處理的關(guān)鍵問(wèn)題是：①由于多小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)是多維的，而需處理的信號(hào)一般是一維的，必須對(duì)所有多小波的原始信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理;②不同的預(yù)處理方法對(duì)多小波應(yīng)用性能的影響非常大，怎樣根據(jù)應(yīng)用需要選擇相應(yīng)的最優(yōu)預(yù)處理方法是多小波應(yīng)用的關(guān)鍵問(wèn)題。

　　如不采用預(yù)處理方法，簡(jiǎn)單的方法是將一維信號(hào)分解為其多相形式

　　式中 z=ejω 。CL4多小波的低通濾波器響應(yīng)H1(ω)和H2(ω)分別為

　　同理可求出其相應(yīng)的高通濾波器響應(yīng)G1(ω)和G2(ω)，如圖3所示。

　　由圖3可見(jiàn)，CL4多小波的低通濾波器和高通濾波器響應(yīng)均表現(xiàn)出帶通和帶阻兩種不相同的屬性，其他多小波也有類似屬性，這種現(xiàn)象易導(dǎo)致多小波的低通和高通頻帶相互混疊，不利于分解和重構(gòu)信號(hào)，即如不采用有效的預(yù)處理方法，多小波不能像傳統(tǒng)小波那樣對(duì)信號(hào)很好地進(jìn)行去噪和壓縮等處理。

　　目前多小波的預(yù)處理方法主要分為兩類：預(yù)濾波(prefilter)法[8]和采用平衡多小波(balanced multiwavelet)法[9]。

　　3.2 預(yù)濾波法

　　對(duì)于預(yù)濾波方法的研究主要集中在GHM多小波的預(yù)濾波，本文將文[5]提出的odd/even、deriv.、Haar、mod.Haar預(yù)濾波法和文[10]提出的預(yù)濾波法應(yīng)用于CL4多小波。經(jīng)大量仿真分析后，作者認(rèn)為采用Haar法可取得較好的濾波效果，圖4為Haar預(yù)濾波方法對(duì)CL4多小波原有濾波器響應(yīng)的影響。

　　由圖4可見(jiàn)，Haar預(yù)濾波法在一定程度上改善了CL4多小波兩個(gè)低通濾波器和兩個(gè)高通濾波器的響應(yīng)。

　　3.3 平衡多小波法

　　多小波低通部分如有不同的頻譜屬性，會(huì)使通道不平衡和復(fù)雜化矢量化過(guò)程，矢量化過(guò)程的多相方法產(chǎn)生了混合粗細(xì)分辨系數(shù)，僅用粗分辨系數(shù)重構(gòu)信號(hào)時(shí)將產(chǎn)生強(qiáng)烈的振蕩，稱為不平衡現(xiàn)象[9]。消除多小波不平衡現(xiàn)象的方法是構(gòu)造平衡多小波，主要有兩種構(gòu)造方法：采用復(fù)Daubechies小波系列濾波器構(gòu)造平衡多小波和平衡已有的不平衡多小波(簡(jiǎn)稱平衡法)。

以下采用平衡方法來(lái)平衡CL4多小波，平衡算子為

，平衡后CL4多小波的低通和高通濾波器分別為

　　CL4多小波的低通合成算子LT 和高通合成算子TT 滿足等式

　　式中 u1=[...,1,1,1,1,...]T ，即矢量 在低通支路 保持不變，在高通支路被取消，這時(shí)CL4多小波即是平衡的多小波[9]。圖5為平衡法對(duì)CL4多小波原有濾波器響應(yīng)的影響。

　　由圖5可見(jiàn)，對(duì)CL4多小波采用平衡法不僅可使兩個(gè)低通濾波器和兩個(gè)高通濾波器的響應(yīng)分別重合，還可較好地改善系統(tǒng)本身的低通、高通濾波器的響應(yīng)性能。

　　4 CL多小波的應(yīng)用

　　本文采用不同預(yù)處理方法的CL4多小波、GHM多小波和db4小波來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的壓縮， GHM多小波和db4小波與CL4多小波非常類似，且具有正交性和緊支撐性，濾波器長(zhǎng)度均為4。關(guān)于傳統(tǒng)小波在電力系統(tǒng)故障數(shù)據(jù)壓縮中的應(yīng)用可參見(jiàn)文[11]。

　　采用電力系統(tǒng)的正弦信號(hào)和500kV高壓輸電線路單相接地短路故障相的電壓信號(hào)(故障點(diǎn)距輸電線首端的長(zhǎng)度與輸電線總長(zhǎng)度的百分比分別為2.5%、12.5%、25%、37.5%、50%、75%、87.5%)作為原始信號(hào)，采樣點(diǎn)為1024個(gè)，分解層數(shù)為6層。對(duì)CL4多小波采用Haar法和平衡法兩種預(yù)處理方法;對(duì)GHM多小波采用GHM.init預(yù)處理方法(GHM.init是GHM多小波的所有已知預(yù)處理方法中綜合效果最好的預(yù)處理方法之一);對(duì)db4傳統(tǒng)小波采用直接處理采樣點(diǎn)的方法。本文采用保留多小波分解后的若干最大系數(shù)的數(shù)據(jù)壓縮方法。該方法的原理是：對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行小波尺度的擴(kuò)展，保留絕對(duì)值最大的系數(shù)，這種情況下，可僅用全局閾值來(lái)壓縮信號(hào)，以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的壓縮或相對(duì)均方差賦范信號(hào)的恢復(fù)，該方法可先確定數(shù)據(jù)的壓縮比。定義信號(hào)重構(gòu)后的賦范均方誤差為

式中 f(n)、

分別為原始信號(hào)與恢復(fù)信號(hào)。 表1為采用該方法時(shí)，采用不同多小波對(duì)相應(yīng)信號(hào)數(shù)據(jù)的壓縮結(jié)果。

　　計(jì)算出其他故障點(diǎn)信號(hào)數(shù)據(jù)壓縮的賦范誤差、平均誤差和均方差，得到壓縮比為20:1時(shí)隨不同故障地點(diǎn)變化的賦范誤差曲線如圖6所示。50%處故障的暫態(tài)信號(hào)隨不同壓縮比變化的賦范誤差曲線如圖7所示。

　　由表1、圖6和圖7中壓縮效果參數(shù)可知：

　　(1)GHM多小波及CL多小波對(duì)平穩(wěn)信號(hào)(正弦信號(hào))或暫態(tài)信號(hào)(故障信號(hào))的數(shù)據(jù)壓縮效果均比db4傳統(tǒng)小波的好;

　　(2)采用Haar和平衡法預(yù)處理方法的CL4多小波的壓縮效果均明顯比采用GHM.init預(yù)處理方法的GHM多小波的壓縮效果好;

　　(3)CL4多小波采用平衡預(yù)處理方法時(shí)，壓縮效果總體上比Haar預(yù)處理方法的好一些。

　　5 結(jié)論

　　本文介紹和分析了CL多小波及其不同的預(yù)處理方法，采用保留分解后若干最大系數(shù)的數(shù)據(jù)壓縮方法，對(duì)采用不同預(yù)處理方法的CL多小波在故障數(shù)據(jù)壓縮中的效果與GHM多小波及傳統(tǒng)db4小波進(jìn)行了比較。綜合各種壓縮性能指標(biāo)后認(rèn)為，基于Haar法和平衡法的CL4多小波比基于GHM.init法的GHM多小波壓縮效果優(yōu)越，更適用于對(duì)電力系統(tǒng)信號(hào)的數(shù)據(jù)壓縮。

 

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