一元二次方程求根公式
人們從古埃及的數(shù)學(xué)紙草書(shū)和古巴比倫的數(shù)學(xué)泥版書(shū)上了解到，大約在距今三千七八百年以前，人類(lèi)就會(huì)解一元一次方程。以下是小編整理的關(guān)于一元二次方程求根公式，希望大家認(rèn)真閱讀!
對(duì)于受過(guò)九年制義務(wù)教育的人來(lái)說(shuō)，一元二次方程是非常熟悉的內(nèi)容。我們能解任何一個(gè)一元二次方程(包括判定一個(gè)一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根)，原因是我們掌握了一元二次方程的求根公式。我們現(xiàn)在所學(xué)的一元二次方程求根公式，在一千多年漫長(zhǎng)的歷史中，曾經(jīng)隨著數(shù)的范圍的擴(kuò)大、概念的建立和嚴(yán)密而不斷地演變和完善。
一元二次方程的出現(xiàn)，有很久的歷史。最早的記錄是在公元前兩千年左右的巴比倫泥版書(shū)中，其中有相當(dāng)于解二次方程x2-5x+6=0的問(wèn)題，并指出方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)。這大概是世界上最古老的完全二次方程的實(shí)例之一。據(jù)數(shù)學(xué)史記載，巴比倫人會(huì)求出方程x2+px=q(p、q為正數(shù))的根為x=√[(p/2)+q]-p/2 。
在希臘的著作中也能見(jiàn)到有關(guān)二次方程解的記錄。二世紀(jì)的著名幾何學(xué)家海倫已了解了數(shù)值處理的方法，海倫還用近似法求解方程。由于古希臘人不承認(rèn)負(fù)數(shù)，那時(shí)也沒(méi)有發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)，于是海倫所用過(guò)的是錯(cuò)誤公式子 x=√](4ac-b)-b]/2a。
我國(guó)古代數(shù)學(xué)家在一元二次方程和二次方程的解的方面有著突出的成果，作出過(guò)不朽的貢獻(xiàn)。公元三世紀(jì)數(shù)學(xué)家趙君卿注《周髀算經(jīng)》時(shí)，不僅提出二次方程，而且在有關(guān)二次方程的解中，我們發(fā)現(xiàn)有求根公式的雛形。趙君卿在《周髀算經(jīng)》的注文中有一篇有名的論文“勾股圓方圖注”，論文的內(nèi)容主要是用幾何方法證明勾股定理，但其中有一段是關(guān)于二次方程解法的論述：“其倍弦(2c1)為廣袤合(x1+x2)，而令勾股見(jiàn)者自乘(x1x2=a12或x1x2=b2)為實(shí)，四實(shí)以減之(2c1)2-4a12開(kāi)其余，所得為差√[(2c1)-4a1]=x2-x1，以差減合，半其余為廣”，最后得公式x=[2c1-√[(2c1)-4a1]]/2，這是二次方程x2-2c1x+a12=0的一個(gè)根。若將方程改為x2-bx+c=0的形式，這上面的公式就變?yōu)閤=[b-√(b-4c)]/2的樣子了。這正是首項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的二次方程x2-bx+c=0的一個(gè)根的表達(dá)式。
特別要指出的是，上文中“其倍弦為廣袤合，而令勾股見(jiàn)者自乘為實(shí)”，這兩句話論述的就是根與系數(shù)的關(guān)系，相當(dāng)于“韋達(dá)定理”。而韋達(dá)是十六世紀(jì)法國(guó)的數(shù)學(xué)家，他的結(jié)果大約比趙君卿晚一千三百年左右。
我國(guó)南北朝時(shí)成書(shū)的《張丘建算經(jīng)》中有二次方程問(wèn)題二則，由于書(shū)的殘缺和敘述的簡(jiǎn)略，無(wú)法知道其解法。
公元八世紀(jì)我國(guó)著名的天文學(xué)家僧一行(683年—723年)由于研究歷法，而得到二次方程x2+bx+c=0(b>0，c>0)，他用公式x==[√(b-4c)-b]/2來(lái)求一個(gè)根。
宋代劉益著《益古根源》，對(duì)二次方程求解做了進(jìn)一步的工作，可解二次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)或負(fù)數(shù)的.二次方程。
到了秦九韶著《數(shù)書(shū)九章》時(shí)，我國(guó)數(shù)學(xué)家已掌握了形如x2±px±q=0(p>0，q>0)的二次方程的解法。
公元十三世紀(jì)楊輝所作的“田畝比類(lèi)乘除捷法”一書(shū)中，詳載多種解二次方程的方法，他發(fā)展了趙爽的方法，提出解二次方程的“四圓積步”法。
元代朱世杰在他的“算學(xué)啟蒙”中也用過(guò)求根公式。
在長(zhǎng)期的研究中，人們逐步認(rèn)識(shí)到：1。二次方程有兩個(gè)根;2�？砂褍蓚�(gè)根用方程的系數(shù)的運(yùn)算公式表示出來(lái)。
公元九世紀(jì)，完全二次方程的標(biāo)準(zhǔn)求根公式(即現(xiàn)在所用的形式)第一次在烏茲別克著名數(shù)學(xué)家買(mǎi)買(mǎi)提·本·牟徹·花拉子模的《代數(shù)學(xué)》中出現(xiàn)，《代數(shù)學(xué)》里系統(tǒng)地討論了6種類(lèi)型的一次或二次方程的解法，并講了配平方法，同時(shí)指出，通過(guò)“復(fù)原”與“對(duì)消”兩種變換，所有其它形式的一次、二次方程都能化成這6種類(lèi)型的方程。他提出的“復(fù)原”與“對(duì)消”即今天的移項(xiàng)與合并同類(lèi)項(xiàng)。但是對(duì)于求根公式的運(yùn)用有所限制。因?yàn)�，雖然他知道二次方程有兩個(gè)根，但是他只取正根，放棄負(fù)根和零。另外，這個(gè)公式出現(xiàn)以后的幾個(gè)世紀(jì)內(nèi)，人們還沒(méi)有認(rèn)識(shí)虛數(shù)，所以凡遇到b2-4ac<0時(shí)，就認(rèn)為問(wèn)題不可能有解�；ɡ幽１救艘矡o(wú)例外地具有這種看法。
十三世紀(jì)后，二次方程發(fā)展的重心又轉(zhuǎn)向了歐洲，較早的是意大利學(xué)者斐波那契。1202年，他在介紹東方的二次方程理論時(shí)引入了二次方程可以有無(wú)理數(shù)根的思想。實(shí)際上，虛數(shù)也是在二次方程求解研究中產(chǎn)生的，可見(jiàn)，二次方程求根問(wèn)題的研究對(duì)數(shù)的擴(kuò)張有重要的促進(jìn)作用。
十六世紀(jì)50年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)提出了二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，即韋達(dá)定理。1707年，英國(guó)著名科學(xué)家牛頓建立了關(guān)于二次方程的一系列知識(shí)，給出了二次方程的根與判別式的關(guān)系。
1768年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉出版的《代數(shù)學(xué)入門(mén)》一書(shū)給出了現(xiàn)在我們中學(xué)課本中列出的一般二次方程的求根公式。
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對(duì)于受過(guò)九年制義務(wù)教育的人來(lái)說(shuō)，一元二次方程是非常熟悉的內(nèi)容。我們能解任何一個(gè)一元二次方程(包括判定一個(gè)一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根)，原因是我們掌握了一元二次方程的求根公式。我們現(xiàn)在所學(xué)的一元二次方程求根公式，在一千多年漫長(zhǎng)的歷史中，曾經(jīng)隨著數(shù)的范圍的擴(kuò)大、概念的建立和嚴(yán)密而不斷地演變和完善。
一元二次方程的出現(xiàn)，有很久的歷史。最早的記錄是在公元前兩千年左右的巴比倫泥版書(shū)中，其中有相當(dāng)于解二次方程x2-5x+6=0的問(wèn)題，并指出方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)。這大概是世界上最古老的完全二次方程的實(shí)例之一。據(jù)數(shù)學(xué)史記載，巴比倫人會(huì)求出方程x2+px=q(p、q為正數(shù))的根為x=√[(p/2)+q]-p/2 。
在希臘的著作中也能見(jiàn)到有關(guān)二次方程解的記錄。二世紀(jì)的著名幾何學(xué)家海倫已了解了數(shù)值處理的方法，海倫還用近似法求解方程。由于古希臘人不承認(rèn)負(fù)數(shù)，那時(shí)也沒(méi)有發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)，于是海倫所用過(guò)的是錯(cuò)誤公式子 x=√](4ac-b)-b]/2a。
我國(guó)古代數(shù)學(xué)家在一元二次方程和二次方程的解的方面有著突出的成果，作出過(guò)不朽的貢獻(xiàn)。公元三世紀(jì)數(shù)學(xué)家趙君卿注《周髀算經(jīng)》時(shí)，不僅提出二次方程，而且在有關(guān)二次方程的解中，我們發(fā)現(xiàn)有求根公式的雛形。趙君卿在《周髀算經(jīng)》的注文中有一篇有名的論文“勾股圓方圖注”，論文的內(nèi)容主要是用幾何方法證明勾股定理，但其中有一段是關(guān)于二次方程解法的論述：“其倍弦(2c1)為廣袤合(x1+x2)，而令勾股見(jiàn)者自乘(x1x2=a12或x1x2=b2)為實(shí)，四實(shí)以減之(2c1)2-4a12開(kāi)其余，所得為差√[(2c1)-4a1]=x2-x1，以差減合，半其余為廣”，最后得公式x=[2c1-√[(2c1)-4a1]]/2，這是二次方程x2-2c1x+a12=0的一個(gè)根。若將方程改為x2-bx+c=0的形式，這上面的公式就變?yōu)閤=[b-√(b-4c)]/2的樣子了。這正是首項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的二次方程x2-bx+c=0的一個(gè)根的表達(dá)式。
特別要指出的是，上文中“其倍弦為廣袤合，而令勾股見(jiàn)者自乘為實(shí)”，這兩句話論述的就是根與系數(shù)的關(guān)系，相當(dāng)于“韋達(dá)定理”。而韋達(dá)是十六世紀(jì)法國(guó)的數(shù)學(xué)家，他的結(jié)果大約比趙君卿晚一千三百年左右。
我國(guó)南北朝時(shí)成書(shū)的《張丘建算經(jīng)》中有二次方程問(wèn)題二則，由于書(shū)的殘缺和敘述的簡(jiǎn)略，無(wú)法知道其解法。
公元八世紀(jì)我國(guó)著名的天文學(xué)家僧一行(683年—723年)由于研究歷法，而得到二次方程x2+bx+c=0(b>0，c>0)，他用公式x==[√(b-4c)-b]/2來(lái)求一個(gè)根。
宋代劉益著《益古根源》，對(duì)二次方程求解做了進(jìn)一步的工作，可解二次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)或負(fù)數(shù)的二次方程。
到了秦九韶著《數(shù)書(shū)九章》時(shí)，我國(guó)數(shù)學(xué)家已掌握了形如x2±px±q=0(p>0，q>0)的二次方程的解法。
公元十三世紀(jì)楊輝所作的“田畝比類(lèi)乘除捷法”一書(shū)中，詳載多種解二次方程的方法，他發(fā)展了趙爽的方法，提出解二次方程的“四圓積步”法。
元代朱世杰在他的“算學(xué)啟蒙”中也用過(guò)求根公式。
在長(zhǎng)期的研究中，人們逐步認(rèn)識(shí)到：1。二次方程有兩個(gè)根;2�？砂褍蓚�(gè)根用方程的系數(shù)的運(yùn)算公式表示出來(lái)。
公元九世紀(jì)，完全二次方程的標(biāo)準(zhǔn)求根公式(即現(xiàn)在所用的形式)第一次在烏茲別克著名數(shù)學(xué)家買(mǎi)買(mǎi)提本·牟徹·花拉子模的《代數(shù)學(xué)》中出現(xiàn)，《代數(shù)學(xué)》里系統(tǒng)地討論了6種類(lèi)型的一次或二次方程的解法，并講了配平方法，同時(shí)指出，通過(guò)“復(fù)原”與“對(duì)消”兩種變換，所有其它形式的一次、二次方程都能化成這6種類(lèi)型的方程。他提出的“復(fù)原”與“對(duì)消”即今天的移項(xiàng)與合并同類(lèi)項(xiàng)。但是對(duì)于求根公式的運(yùn)用有所限制。因?yàn)椋m然他知道二次方程有兩個(gè)根，但是他只取正根，放棄負(fù)根和零。另外，這個(gè)公式出現(xiàn)以后的幾個(gè)世紀(jì)內(nèi)，人們還沒(méi)有認(rèn)識(shí)虛數(shù)，所以凡遇到b2-4ac<0時(shí)，就認(rèn)為問(wèn)題不可能有解�；ɡ幽１救艘矡o(wú)例外地具有這種看法。
十三世紀(jì)后，二次方程發(fā)展的重心又轉(zhuǎn)向了歐洲，較早的是意大利學(xué)者斐波那契。1202年，他在介紹東方的二次方程理論時(shí)引入了二次方程可以有無(wú)理數(shù)根的思想。實(shí)際上，虛數(shù)也是在二次方程求解研究中產(chǎn)生的，可見(jiàn)，二次方程求根問(wèn)題的研究對(duì)數(shù)的擴(kuò)張有重要的促進(jìn)作用。
十六世紀(jì)50年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)提出了二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，即韋達(dá)定理。1707年，英國(guó)著名科學(xué)家牛頓建立了關(guān)于二次方程的一系列知識(shí)，給出了二次方程的根與判別式的關(guān)系。
1768年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉出版的《代數(shù)學(xué)入門(mén)》一書(shū)給出了現(xiàn)在我們中學(xué)課本中列出的一般二次方程的求根公式。
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