1. 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解為什么是這個樣子?

　　盡管二階常系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程考綱有明確要求，但我相信仍不少考生沒有思考過這個問題。他們可能覺得微分方程會識別類型，記住解法就行了，沒必要知道為什么要這樣解。有的老師也給學(xué)生建議：“像背單詞一樣把二階常系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程的解法背下來”。這樣有個問題：很容易忘。如何對抗遺忘?思考!多思考，找到知識之間的聯(lián)系就不容易忘了。如何思考?提問是思考的一個開端。拒絕機械地記憶，能簡單推導(dǎo)的可以推導(dǎo);不好推導(dǎo)的，可以“理解性地記憶”。比如上面的問題，咱們可以把三種形式的解代入微分方程中算算，對理解，對記憶都有幫助。

　　2. 考研數(shù)學(xué)中有不少“推廣”，有多少同學(xué)總結(jié)過這些嗎：有多少推廣?推廣前后有哪些相同和不同?

　　(1)一維隨機變量與多維隨機變量

　　在學(xué)習(xí)多維隨機變量時，我們可以先回顧一維隨機變量的內(nèi)容。那么，關(guān)于一維隨機變量我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容呢?

　　首先是定義，什么是隨機變量?隨機變量是定義在樣本空間上的函數(shù)(與高數(shù)中的函數(shù)不同)。它的作用是把隨機試驗的可能結(jié)果數(shù)量化了，便于用數(shù)學(xué)工具處理。那么什么是二維隨機變量(多維我們主要考慮二維)?就是把兩個定義在同一個樣本空間上的隨機變量放在一起考慮，或者說是定義在樣本空間上的向量值函數(shù)。

　　繼續(xù)回憶：如何描述一個隨機變量X?通用的工具是不是分布函數(shù)?分布函數(shù)F(x)是什么?它是概率，是隨機變量X落入(負無窮, x]這個區(qū)間的概率。那么推廣過來，我們要描述一個二維隨機變量(X,Y)，也可以用分布函數(shù)。一維對應(yīng)著一元函數(shù)F(x)，二維自然對應(yīng)二元函數(shù) F(x, y);一維分布函數(shù)是X落入一個區(qū)間的概率，相應(yīng)地二維分布函數(shù)是(X,Y)落入一個區(qū)域的概率，與(負無窮, x]這個區(qū)間對應(yīng)，這個區(qū)域是(負無窮, x]乘(負無窮, y]。

　　在討論了分布函數(shù)的概念后，我們可以進一步討論分布函數(shù)的性質(zhì)。思考一下，一維隨機變量的分布函數(shù)有哪些性質(zhì)?“單調(diào)不減”，“0,1之間”和“右連續(xù)”，并且這三條性質(zhì)合起來是一個函數(shù)可以作為某個隨機變量的分布函數(shù)的充要條件。那么推廣一下，不難得到二維隨機變量的分布函數(shù)的性質(zhì)，有需要注意的地方嗎?第一條和第三條性質(zhì)需要加上“關(guān)于x”(或者“關(guān)于y”)。“關(guān)于”是什么意思?就是把另一個變量固定，再考慮問題。第二條性質(zhì)推廣前的部分內(nèi)容是 F(正無窮)=1，F(xiàn)(負無窮)=0，推廣之后變?yōu)镕(正無窮,正無窮)=1，F(xiàn)(負無窮，y)=0，F(xiàn)(x,負無窮)=0，F(xiàn)(負無窮,負無窮)=0。為什么會這樣?關(guān)鍵在F(x, y)中那個逗號，是“且”的意思。還有一條性質(zhì)可以結(jié)合圖形來理解，考得不多。當(dāng)然二維隨機變量的分布函數(shù)的這幾條性質(zhì)是否是充要條件?這點考研不要求。

　　我們知道，描述一維隨機變量，除了分布函數(shù)外，還有分布律和概率密度。它們是與離散型和連續(xù)型隨機變量對應(yīng)的。那么二維隨機變量是否也有離散型和連續(xù)型，也有相應(yīng)的分布律和概率密度?對應(yīng)推廣過來不就行了?

　　下面的這些“推廣”，你能否自己總結(jié)?

　　(2)一元函數(shù)極限與二重極限

　　(3)一元函數(shù)連續(xù)與二元函數(shù)連續(xù)

　　(4)一元函數(shù)可微與多元函數(shù)可微

　　(5)定積分與二重積分

　　(6)二重積分與三重積分