在數(shù)學(xué)備考的過程中，我們大都會把自己沉浸習(xí)題的海洋里，做題，查答案，做題，查答案，如此反復(fù)，不免枯燥。于是，我們找來一些有趣的數(shù)學(xué)小題目，快利用你的碎片時間來挑戰(zhàn)一下吧。
1、設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)單調(diào)有界，{xn}為一數(shù)列。下面命題正確的是( )
A、若{xn}收斂，則{f(xn}收斂。
B、若{xn}單調(diào)，則{f(xn)}收斂。
C、若{f(xn)收斂，則{xn}收斂。
D、若{f(xn)}單調(diào)，則{xn}收斂。
解題思路
(1)——(C)(D)都不對的關(guān)鍵在于：在本題條件下，就算相應(yīng)的函數(shù)值列收斂或單調(diào)，自變量列xn可以是趨向正無窮的，沒有極限。
(2)——(A)情形只知道自變量列xn收斂，它可能不是單調(diào)的。
單調(diào)的函數(shù)不一定連續(xù)。且，“如果單調(diào)函數(shù)在單調(diào)區(qū)間內(nèi)一點x0間斷，則只能是跳躍間斷。”(實際上，如果函數(shù)在x0的左右極限相等，則f(x0)只能等于極限值，否則就破壞了單調(diào)性。)
設(shè)想xn既有子列從左邊，又有子列從右邊趨向點x0，則自變量列收斂于點x0而相應(yīng)的函數(shù)值列卻不收斂。故(A)錯。
反例：x小于0時f=x，f(0)=1，x大于0時f=2+x
(3)——(B)對。在本題條件下，若自變量列單調(diào)，相應(yīng)的函數(shù)值列必定也單調(diào)。且是有界的。
2、f(x)在[a，b]上可微，且f‘(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)增加，又f(a)=f(b)=A(常數(shù))，證明，在(a，b)內(nèi)，恒有f(x)
解題思路
這是個運用“構(gòu)造法”的好題。
f(x)在[a，b]上可微，自然連續(xù)。f(a)=f(b)=A，故由洛爾定理，(a，b)內(nèi)存在一點c，f′(c)=0
已知f′(x)單增，故零點唯一。且在(a，c)內(nèi)f′(x)<0，f(x)單減，f(x)
而在(c，b)內(nèi)f′(x)>0，f(x)單增，f(x)
從而在(a，b)內(nèi)，恒有f(x)
3、計算極限小總結(jié)
(1)非零的因式先求極限。
(2)0/0型未定式題目的兩個主要類型——
分子(或分子分母各)是“等價無窮小相減產(chǎn)生的高階無窮小”——
應(yīng)對手段：連續(xù)使用洛必達法則。
修練方法：利用五個常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式，盡可能多記一些等價無窮小
分子分母是“不同階的無窮小的線性組合”，(無窮小多項式)——
應(yīng)對手段：(化零項法)分子分母同除以商式中的最低階的無窮小，各項分別取極限。
4、(每段是初等函數(shù)的)分段函數(shù)求導(dǎo)，分界點處用定義計算，各段用法則與公式。老老實實地記與做，既簡明又少犯錯誤。
當(dāng)然，你可以懂得更細一點�？蓪�(dǎo)一定連續(xù)。不連續(xù)必然不可導(dǎo)。連續(xù)是討論可導(dǎo)性的前提。
函數(shù)在點a可導(dǎo)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。
在定義分界點a的一側(cè)，比如右則�？梢杂枚x求得右導(dǎo)數(shù)。同時，在右側(cè)這一段內(nèi)，你用法則與公式求出了導(dǎo)函數(shù)。自然就會產(chǎn)生一個想法，能否以此求極限得到點a的導(dǎo)數(shù)。這是錘煉知識及思維細密性的好時機。
(1)如果求極限，是求導(dǎo)函數(shù)在點a的右極限。這個右極限存在嗎?
(2)按照定義求右導(dǎo)數(shù)。“右導(dǎo)數(shù)”與“導(dǎo)函數(shù)在點a的右極限”是兩回事。
(3)如果這個右極限存在，它和“右導(dǎo)數(shù)”相等嗎?
用拉格郎日公式可以證明，“如果導(dǎo)函數(shù)在點a的右極限存在，則函數(shù)在點a的右導(dǎo)數(shù)一定存在，且兩者相等。”(一個好練習(xí)題!)
左側(cè)可以類似討論。
結(jié)論：驗證了分段函數(shù)在分界點a連續(xù)后，在兩邊區(qū)間內(nèi)各自求導(dǎo)。令x趨于a，分別求導(dǎo)函數(shù)的極限。若兩者相等，它就是函數(shù)在點a的導(dǎo)數(shù)。若兩者不等，函數(shù)在點a不可導(dǎo)。
前提很清晰，這樣處理也可以。
2016考研復(fù)習(xí)已經(jīng)進入暑期強化階段，正可謂：得暑假者得考研�？忌獙W(xué)會拒絕誘惑，充實利用好這個暑假，為后期的提高及沖刺階段做足準備。