級(jí)數(shù)部分知識(shí)的學(xué)習(xí)歷來被認(rèn)為是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，主要原因是本部分概念及方法都很抽象，不容易操作，面對(duì)題目比較茫然，不知該如何入手討論。本文中，跨考教育數(shù)學(xué)教研室邵偉如老師將對(duì)數(shù)項(xiàng)部分知識(shí)進(jìn)行梳理，為同學(xué)們提供一個(gè)可行的思路。
級(jí)數(shù)部分從大的方面來分的話主要考察數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)部分主要考察級(jí)數(shù)的斂散性，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)部分涉及到求和及展開，數(shù)三的同學(xué)考察冪級(jí)數(shù)，數(shù)一的同學(xué)還考察傅里葉級(jí)數(shù)，數(shù)二的同學(xué)不考察級(jí)數(shù)。
數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，顧名思義就是級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為數(shù)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)大體分為兩類考察，一類是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，一般項(xiàng)均為正數(shù);一類是一般項(xiàng)級(jí)數(shù)，一般項(xiàng)是可正可負(fù)的數(shù)，其中特殊的是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，一般項(xiàng)由正負(fù)交叉的數(shù)構(gòu)成。每個(gè)類型的級(jí)數(shù)都有相應(yīng)的判別斂散的方法。
正項(xiàng)級(jí)數(shù)是考察重點(diǎn)，數(shù)一、三的同學(xué)均以考察級(jí)數(shù)斂散的判別法為主，但出題的側(cè)重點(diǎn)又有所區(qū)別，數(shù)三的同學(xué)以選擇、填空小題為主，數(shù)一的同學(xué)除了考察小題以外，還會(huì)以判別法，主要是比較審斂法為主考察大題，總之，數(shù)一的同學(xué)要求更高一些。正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法主要有：比較審斂法(常需要借助p級(jí)數(shù))、比值審斂法(級(jí)數(shù)自身前后項(xiàng)相較，適用于一般項(xiàng)含階乘的正項(xiàng)級(jí)數(shù))及根值審斂法(級(jí)數(shù)自身前后項(xiàng)相較，適用于一般項(xiàng)含n次冪的正項(xiàng)級(jí)數(shù))�？偟脕碚f，比較審斂法體現(xiàn)了借助已知斂散性的級(jí)數(shù)判別未知，比值及根值審斂法主要是自己的事情自己做，自力更生。一般項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂需要遵循一定的步驟進(jìn)行。首先，計(jì)算一般項(xiàng)的極限，如果一般項(xiàng)的極限不為0，那么本級(jí)數(shù)必發(fā)散;如果一般項(xiàng)極限為0，只能說明級(jí)數(shù)有收斂的可能性，但不能立即判斂(反例：調(diào)和級(jí)數(shù))，那么需要進(jìn)一步判定，如何判定呢?需要將級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)加絕對(duì)值，這樣一個(gè)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)就變?yōu)檎?xiàng)級(jí)數(shù)，即可由正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂的三個(gè)方法判斂，如果收斂，則此時(shí)級(jí)數(shù)收斂，且稱為絕對(duì)收斂，如果發(fā)散，則需要去掉絕對(duì)值，看一般項(xiàng)級(jí)數(shù)本身的斂散性;如何判別一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散呢?此時(shí)有兩個(gè)走向，一是看級(jí)數(shù)是否為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，如果是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則用萊布尼茲條件判斂，收斂，則稱級(jí)數(shù)為條件收斂;若雖是交錯(cuò)級(jí)數(shù)卻不滿足萊布尼茲條件，或級(jí)數(shù)是一般項(xiàng)級(jí)數(shù)但并非交錯(cuò)級(jí)數(shù)，那么一般需考慮定義法判斂，所謂定義法，就是先計(jì)算級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和，然后前n項(xiàng)和取極限，若極限存在，則級(jí)數(shù)收斂，若極限不存在，則級(jí)數(shù)發(fā)散。
當(dāng)然，除了以上介紹的審斂法以外，我們還需熟練掌握級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)(比如：收斂+收斂=收斂、增加或去掉或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性等)來判別。希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中多注意這些性質(zhì)的運(yùn)用。