2017年的考研備考即將開(kāi)始，關(guān)于考研數(shù)學(xué)這一科，積分是考試重點(diǎn)之一。小編為考生搜集整理了一些考研數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)以及建議，供閱讀參考。
1.復(fù)習(xí)知識(shí)體系
在講定積分的時(shí)候，我又回歸到原來(lái)的講法：從知識(shí)體系講起。因?yàn)槎ǚe分這章非常重要，考試考查的內(nèi)容多而廣。這章包括：定積分的定義，性質(zhì);微積分基本定理;反常積分;定積分的應(yīng)用。這四個(gè)部分各有側(cè)重點(diǎn)。其中定積分的定義是重點(diǎn);要理解微積分基本定理;要掌握定積分在幾何和物理上面的應(yīng)用。至于反常積分大家了解就行了。
2.深刻回顧知識(shí)點(diǎn)
在掌握了知識(shí)體系之后，自然就需要明確具體的重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)了。首先是定積分的定義及性質(zhì)。大家需要深刻理解定積分的定義。我覺(jué)得同學(xué)們不僅要會(huì)用自己的話來(lái)表述定義，而且要一步一步的寫出精髓。比如說(shuō)從定義中體現(xiàn)的思想：微元法。同學(xué)們要理解分割，近似，求和，取極限這四個(gè)步驟。同時(shí)要知道其幾何意義及定義中需要注意的方面。對(duì)定積分定義的考察在每年考研中是必考內(nèi)容。所以希望引起大家的足夠重視。至于性質(zhì)，大家關(guān)鍵也在于理解。特別是區(qū)間可加性;比較定理;積分中值定理。對(duì)這三個(gè)性質(zhì)大家一定要知道是怎么來(lái)的。考研中有關(guān)積分的證明題多多少少會(huì)用到這三個(gè)性質(zhì)。所以大家只有理解了才懂得在什么時(shí)候用。然后是微積分基本定理。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)非常重要。因?yàn)樗x了一種新的函數(shù)：積分上限函數(shù)。而且在一定的條件下，它的導(dǎo)數(shù)就是f(x)。所以我們擴(kuò)展了函數(shù)類型。那么導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的切線與法線;單調(diào)性;極值;凹凸性等應(yīng)用就可以與積分上限函數(shù)聯(lián)系了。同時(shí)提出了牛頓-萊布尼茨公式，使得我們可以用不定積分來(lái)計(jì)算定積分。希望同學(xué)們要掌握牛頓-萊布尼茨公式的證明過(guò)程。補(bǔ)充說(shuō)一點(diǎn)：求定積分常用的方法是基本積分公式;換元積分法(湊微分法和換元積分法);分部積分法。其中換元積分法和分部積分法是重點(diǎn)。大家要理解換元積分法的思想。即我們通過(guò)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式推出了湊微分法;通過(guò)三角代換，根式代換等提出了換元積分法。而我們通過(guò)相乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式推出了分部積分法。所以大家只有知道這些方法是怎么來(lái)的才能更好的使用這些方法。接著大家要注意變限積分求導(dǎo)了，最好請(qǐng)大家自己證明下。第三個(gè)要說(shuō)的是反常積分。對(duì)這一部分，同學(xué)們了解基本定義，會(huì)用定積分判斷是否收斂就夠了。最后，是定積分的應(yīng)用。其實(shí)就是微元法在幾何以及物理上面的應(yīng)用。同樣的，同學(xué)們要知道數(shù)學(xué)一，數(shù)學(xué)二，數(shù)學(xué)三的區(qū)別。在幾何上，數(shù)學(xué)三只用掌握用定積分求面積和簡(jiǎn)單幾何體的體積。而數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二還要求掌握用定積分求曲線弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)曲面面積。在物理應(yīng)用方面，數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二主要掌握用定積分求變力沿直線做功，抽水做功，液太靜壓力和質(zhì)心問(wèn)題。但核心是，同學(xué)們一定要掌握微元法的思想。
3.大量做題
在大家理解了重點(diǎn)知識(shí)以及明確了考試重點(diǎn)后就需要做題鞏固了。關(guān)鍵是做真題，反復(fù)做真題，反復(fù)練習(xí)。
數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)要點(diǎn)
級(jí)數(shù)部分知識(shí)的學(xué)習(xí)歷來(lái)被認(rèn)為是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，主要原因是本部分概念及方法都很抽象，不容易操作，面對(duì)題目比較茫然，不知該如何入手討論。本文中，跨考教育數(shù)學(xué)教研室邵偉如老師將對(duì)數(shù)項(xiàng)部分知識(shí)進(jìn)行梳理，為同學(xué)們提供一個(gè)可行的思路。
級(jí)數(shù)部分從大的方面來(lái)分的話主要考察數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)部分主要考察級(jí)數(shù)的斂散性，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)部分涉及到求和及展開(kāi)，數(shù)三的同學(xué)考察冪級(jí)數(shù)，數(shù)一的同學(xué)還考察傅里葉級(jí)數(shù)，數(shù)二的同學(xué)不考察級(jí)數(shù)。
數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，顧名思義就是級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為數(shù)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)大體分為兩類考察，一類是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，一般項(xiàng)均為正數(shù);一類是一般項(xiàng)級(jí)數(shù)，一般項(xiàng)是可正可負(fù)的數(shù)，其中特殊的是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，一般項(xiàng)由正負(fù)交叉的數(shù)構(gòu)成。每個(gè)類型的級(jí)數(shù)都有相應(yīng)的判別斂散的方法。
正項(xiàng)級(jí)數(shù)是考察重點(diǎn)，數(shù)一、三的同學(xué)均以考察級(jí)數(shù)斂散的判別法為主，但出題的側(cè)重點(diǎn)又有所區(qū)別，數(shù)三的同學(xué)以選擇、填空小題為主，數(shù)一的同學(xué)除了考察小題以外，還會(huì)以判別法，主要是比較審斂法為主考察大題，總之，數(shù)一的同學(xué)要求更高一些。正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法主要有：比較審斂法(常需要借助p級(jí)數(shù))、比值審斂法(級(jí)數(shù)自身前后項(xiàng)相較，適用于一般項(xiàng)含階乘的正項(xiàng)級(jí)數(shù))及根值審斂法(級(jí)數(shù)自身前后項(xiàng)相較，適用于一般項(xiàng)含n次冪的正項(xiàng)級(jí)數(shù))。總得來(lái)說(shuō)，比較審斂法體現(xiàn)了借助已知斂散性的級(jí)數(shù)判別未知，比值及根值審斂法主要是自己的事情自己做，自力更生。一般項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂需要遵循一定的步驟進(jìn)行。首先，計(jì)算一般項(xiàng)的極限，如果一般項(xiàng)的極限不為0，那么本級(jí)數(shù)必發(fā)散;如果一般項(xiàng)極限為0，只能說(shuō)明級(jí)數(shù)有收斂的可能性，但不能立即判斂(反例：調(diào)和級(jí)數(shù))，那么需要進(jìn)一步判定，如何判定呢?需要將級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)加絕對(duì)值，這樣一個(gè)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)就變?yōu)檎?xiàng)級(jí)數(shù)，即可由正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂的三個(gè)方法判斂，如果收斂，則此時(shí)級(jí)數(shù)收斂，且稱為絕對(duì)收斂，如果發(fā)散，則需要去掉絕對(duì)值，看一般項(xiàng)級(jí)數(shù)本身的斂散性;如何判別一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散呢?此時(shí)有兩個(gè)走向，一是看級(jí)數(shù)是否為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，如果是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則用萊布尼茲條件判斂，收斂，則稱級(jí)數(shù)為條件收斂;若雖是交錯(cuò)級(jí)數(shù)卻不滿足萊布尼茲條件，或級(jí)數(shù)是一般項(xiàng)級(jí)數(shù)但并非交錯(cuò)級(jí)數(shù)，那么一般需考慮定義法判斂，所謂定義法，就是先計(jì)算級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和，然后前n項(xiàng)和取極限，若極限存在，則級(jí)數(shù)收斂，若極限不存在，則級(jí)數(shù)發(fā)散。
當(dāng)然，除了以上介紹的審斂法以外，我們還需熟練掌握級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)(比如：收斂+收斂=收斂、增加或去掉或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性等)來(lái)判別。希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中多注意這些性質(zhì)的運(yùn)用。