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函數(shù)概念教學(xué)的現(xiàn)狀分析
函數(shù)概念教學(xué)的現(xiàn)狀分析
2.1教學(xué)案例及簡要分析
課例1.函數(shù)的概念學(xué)習(xí)（初中）
授課地點:湖南省漣源巿某中學(xué)初三(2)班。
教學(xué)目標(biāo):1.了解常量變量、自變量和函數(shù)的意義,并能分清實例中出現(xiàn)的常量與變量、自變量與函數(shù)；
2.會發(fā)現(xiàn)和提出函數(shù)的實例,能寫出一些簡單函數(shù)的解析式。
教學(xué)過程:
（一）常量與變量概念
1.引入
例1.一輛汽車以30千米/小時的速度行駛,行駛的路程s(千米)與行駛的時間t(時)的關(guān)系怎樣呢?(列出關(guān)系式s=30t)其中哪些量的數(shù)值可以保持不變,哪些量可以取不同的值?
2.練習(xí)
長方形的面積 ,若 ,則 、 是____量, 是____量；
若 ,則 、 是____量, 是¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬____量。
（二）函數(shù)
1．創(chuàng)設(shè)情境引入概念
例1． ；
例2．反映一天氣溫隨時間變化的氣溫圖。（在教科書的P72）。
a.抽象概括形成概念
通過對二個實例的分析得出在變化過程中兩個變量的對應(yīng)關(guān)系，引入函數(shù)的定義。
b.深入分析理解概念
分析定義中的關(guān)鍵詞：變化過程，兩個變量，唯一和對應(yīng)。
c.討論練習(xí)鞏固概念
例3：圓的面積S（ ）與它的半徑R（ ）之間的關(guān)系 ，判斷S和R是不是函數(shù)關(guān)系？如果是函數(shù)，那么指出式中的自變量與函數(shù)。
例4：用總長60米的籬笆圍成矩形場地，求矩形面積S( )與一邊長 之間的關(guān)系式，并指出式中的常量與變量、自變量與函數(shù)。練習(xí)：（略）
簡要分析: 函數(shù)概念比較抽象，學(xué)生不容易理解，這是教學(xué)的難點。教師在設(shè)計時注意到遵循學(xué)生認(rèn)識事物的規(guī)律，從感性到理性，從具體到抽象。首先創(chuàng)設(shè)情境，從實例引入概念。然后通過二個實例的比較，抽象概括得出函數(shù)的概念。再進一步深入分析函數(shù)的定義，讓學(xué)生理解函數(shù)的概念，最后通過反復(fù)練習(xí)，鞏固函數(shù)的概念。從學(xué)生學(xué)習(xí)心理角度分析，學(xué)生主要經(jīng)歷了一個概念的形成的過程，即從具體事例或具體概念中抽象出了上位概念的一些關(guān)鍵特征，如變量是可以任意賦值的，以及可以不斷變化數(shù)值的量，而常量則是無法變化數(shù)值的量，整個的心理過程是分化、抽象、概括。不足之處在于教師的觀念沒有革新，先入為主。教師有意識創(chuàng)設(shè)了問題情境引入概念，但創(chuàng)設(shè)的情境不能從內(nèi)心引起同學(xué)的興趣。通過二個實例的分析函數(shù)內(nèi)涵的整個過程，教師都在替學(xué)生思考，學(xué)生自己沒有經(jīng)歷一個“做”的過程，全堂課學(xué)生主動建構(gòu)過程太少，沒有變式訓(xùn)練，全都是同一個類型的例題練習(xí)。此外在初中學(xué)習(xí)階段除了學(xué)習(xí)連續(xù)函數(shù)以外，也接觸到了一些離散函數(shù)。然而課例都是連續(xù)函數(shù)，沒有為后續(xù)高中學(xué)習(xí)離散的函數(shù)做充分準(zhǔn)備，沒有一個以函數(shù)為軸線的整體教學(xué)設(shè)計。
課例2：函數(shù)的定義（高中）
授課時間:2004年11月1日
授課地點:湖南省婁底市某中學(xué)高一某班
教學(xué)過程:（一）啟發(fā)引入階段
師(老師):我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念,請同學(xué)們回憶。
生(學(xué)生):回憶不起來,保持沉默。
師:我們腦海里應(yīng)有印象,只是敘述不清。我們并且知道函數(shù)概念比較抽象,有兩個變量。盡管函數(shù)抽象難懂,但卻是一個非常重要的概念,貫穿了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。我們不得不重視函數(shù)概念的學(xué)習(xí)。
師、生:共同回顧了初中的函數(shù)定義。
師：我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)定義，并且學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)，反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等具體的函數(shù)，那么為什么今天我們還要繼續(xù)討論函數(shù)呢？請同學(xué)們看下面兩個問題：問題1： 是函數(shù)嗎？
問題2： 與 是同一個函數(shù)嗎？
生：一副困惑的表情。
師：顯然，僅用我們初中學(xué)習(xí)過的知識是很難解決這兩個問題的，因此我們需要從新的高度來認(rèn)識函數(shù)概念。
（二）傳授新課階段
師：下面我們看非空數(shù)集 、 的元素之間的一些對應(yīng)關(guān)系，（ 、 為有限集）
師：觀察集合A、B有什么對應(yīng)關(guān)系？
師、生（共同討論得出）：
1． 對于集合A中的任意一個數(shù)，集合B中都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)；
2．集合A到集合B的對應(yīng)法則： 分別為“ 乘2”、“求平方”、“求倒數(shù)”；
3．對應(yīng)的形式“一對一”、“多對一”。
師：從上可以看到，函數(shù)實際上就是從自變量 的集合到函數(shù)值 的集合的一種對應(yīng)關(guān)系。
師生：與初中函數(shù)定義比較歸納得出函數(shù)定義2。
（板書）設(shè)A,B是非空的數(shù)集，若按某個確定的對應(yīng)關(guān)系 ，使得對集合A中的任意一個數(shù)x，在集合 B中都有唯一確定數(shù) 和它對應(yīng)，那么稱 ：A B為從集合A 到集合B的一個函數(shù) ，其中A的取值范圍稱函數(shù)的定義域； 稱函數(shù)的值域。
師：進一步分析這個概念，定義中蘊含三個重要的因素：
1． 對應(yīng)法則，又可理解為操作方法，使A B產(chǎn)生關(guān)系；
2． 定義域， 能夠取值的一切值，（強調(diào)具體問題中要以實際背景為準(zhǔn)）；
3． 值域，與 的值相對應(yīng)的值的范圍。
師生共同討論了：一次函數(shù)： 的定義域為R，值域為R，對應(yīng)法則： 的 倍的值與 的和；
反比例函數(shù)： 的定義域為 ，值域為 ，對應(yīng)法則 ： 的倒數(shù)的 倍；
二次函數(shù)： 的定義域為R，值域得分情況討論：
當(dāng) 時，值域為 ；當(dāng) 時，值域為 。
對應(yīng)法則： 的平方的 倍與 的 倍與 的和。
師：注對應(yīng)法則不一定都能寫出，可通過其它方式表述如圖像、表格等。
師：用集合與對應(yīng)的語言敘述函數(shù)概念后，就容易回答開始留下的問題了，下面請同學(xué)回答。
生1：是函數(shù)， 因為對于實數(shù)集R中的任何一個數(shù) ，按對應(yīng)法則“函數(shù)值總是1”，在R中 都有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以 是 的函數(shù)。
生2： 與 不是同一個函數(shù)，因為盡管它們對應(yīng)法則一樣，但 的定義域是R，而 的定義域為
師：回答得很好！
師：為了更好鞏固定義，通過下面例題進行進一步的研究。
例1:求下列函數(shù)的定義域。
(1) ； (2) ； (3) 。
解：（1）要使函數(shù)有意義， ，即 ，函數(shù)的定義域 。
（2）要使 有意義， 0，即 ，故定義域為 。
（3）要使函數(shù)有意義， 要同時滿足，得定義域為 。
簡要分析：教師在設(shè)計時，緊扣教材，并注意前后知識的聯(lián)系，課前設(shè)置疑問，留下了兩個懸而未解的問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。提到了函數(shù)概念的重要性，以引起同學(xué)的重視。通過三個實例的對應(yīng)關(guān)系，引出了用集合與對應(yīng)語言描述的函數(shù)定義，并細(xì)致分析了函數(shù)定義中蘊含三個重要因素（對應(yīng)法則、定義域、值域）。整個課例是比較典型的講授式課例。不足之處教師對于學(xué)生不記得初中函數(shù)定義完全可以通過幾個熟悉的具體例子幫助學(xué)生回憶，再一起總結(jié)得出，這樣可讓學(xué)生經(jīng)歷一個對函數(shù)有一個重新認(rèn)識的過程。此外教師在對于為什么要繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)可從多角度來分析，如函數(shù)的重要性，人文歷史，來激起學(xué)生內(nèi)在情感的學(xué)習(xí)需求。練習(xí)鞏固應(yīng)盡可能取些結(jié)合學(xué)生實際生活中的函數(shù)例子，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)無處不在，無處不用來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)激情！
課例3：函數(shù)概念學(xué)習(xí)（高中）
講授時間：2004年11月4日
授課地點：湖南婁底市某中學(xué)高一某班
教學(xué)過程：
復(fù)習(xí)：求下列函數(shù)的定義域：
1、 ； 2、 ； 3、 ；
4、 ; 5、 。
解：1）要使函數(shù)有意義，必須滿足 ，即函數(shù)的定義域為 。
2）要使函數(shù)有意義 ，必須滿足 ，即函數(shù)的定義域為 。
3）要使函數(shù)有意義 ，必須同時滿足 ，解得其定義域為 。
4）要使函數(shù)有意義 ，必須同時滿足 ，解得其定義域為 。
5）要使函數(shù)有意義 ，必須同時滿足 ，解得其定義域為
例1、已知 的定義域為R，求 的范圍。
分析：這里 要分情況討論，
當(dāng) 時，原函數(shù)變?yōu)椋?，此時符合題意。
當(dāng) 時，原函數(shù)要有意義，必須滿足 ，此時又得分情況討論，當(dāng) 時，要使得 ，必須有 ，此時 無解。 當(dāng) 時，要使得 ，必須有 ，此時 符合題意。綜上可得原函數(shù)的定義域為[0，12]。
例2、已知函數(shù) ，求 的值。
解： ；
； ；
。
例3、已知函數(shù) ，求 的值。
解： ； ；
； 。
例4、已知 求 。
解： ；
。
例5已知 ，求 的值。
解：設(shè)函數(shù) ，就可觀察得： ；
同樣可得： 。（1）
拓展：能否求出 和 的值呢？
同學(xué)想想，我們可以知道：
，（2）
故可用（1）+（2）得 ，
所以 = ；同理，可得 = 。
例6、已知 是常數(shù)，又 求 的值。
分析：根據(jù)已知可列出以下方程： ，四個知數(shù)三個方程？顯然求不出來。另想其它辦法：
構(gòu)造一個輔助函數(shù)，
依題意得， ； （1）
（2）；（1）+（2）得 。
布置作業(yè)，P51，4，5，P52，6。
簡要分析：本節(jié)課是函數(shù)定義學(xué)習(xí)的后續(xù)課，老師設(shè)計這堂課時花了不少心血，匯集了許多經(jīng)典高考題。先復(fù)習(xí)了定義域的求法，講授了求函數(shù)值的方法，最后講授了函數(shù)的應(yīng)用。應(yīng)用函數(shù)巧妙地解了兩道高考題。給我的感覺講授的內(nèi)容比較多。課后詢問學(xué)生，老師講了這么多題，能接受嗎？學(xué)生回答：“當(dāng)然不能，不過先做筆記，課后再看。”教學(xué)設(shè)計顯然超出了學(xué)生的認(rèn)知水平，盡管經(jīng)過長期的訓(xùn)練，牢記解題技巧，在高考中也許能考個好成績，但學(xué)生的情感、學(xué)生的創(chuàng)新能力培養(yǎng)了嗎？值得我們深思！像這類教師可能還沉醉在自己 “豐富的經(jīng)驗”的光環(huán)下，不能自拔。這樣可以比較少的代價的重復(fù)勞動完成所學(xué)的教學(xué)課時數(shù)。陷入了傳統(tǒng)題海中不能自拔是當(dāng)前數(shù)學(xué)問題教學(xué)中的最大危險！正如Fredenthal所說的，數(shù)學(xué)教育的核心是學(xué)生的再創(chuàng)造，教師不應(yīng)該把數(shù)學(xué)當(dāng)作一個已經(jīng)完成了的形式理論來教，不應(yīng)該將各種定義、規(guī)則、算法灌輸給學(xué)生，而是應(yīng)創(chuàng)造合適的條件，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，用自己的體驗，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識。
課例4：函數(shù)的定義（應(yīng)用了多媒體教學(xué)）
授課地點：湖南郴洲臨武某中學(xué)高一某班
說明一點：以上是課件的全部內(nèi)容。本節(jié)可以說是多媒體課件給合常規(guī)黑板的教學(xué),屏幕在左邊,沒有完全擋住黑板。在右邊有一大半空地方是老師講解用的。所以課件中沒有例題的解答。
簡要分析：課件做得很簡單，沒有動畫，沒有任何背景。學(xué)生反映還好懂。只是留給學(xué)生自己動手練習(xí)的時間不夠。在后來求值域和定義域的練習(xí)都很匆忙。我個人認(rèn)為內(nèi)容偏多，沒有很好的脫離教材原有的模式。相對于基礎(chǔ)中等以下的學(xué)生接受還有點困難，而對成績好的學(xué)生是自學(xué)也能懂的，只要老師對“函數(shù)第二定義”加以升華就可以了。課后和老師聊聊天，問及他們的課件設(shè)計怎么沒有什么花樣，他給我的回答是，在他們這多媒體教學(xué)已成了常規(guī)教學(xué)。講求實在一點，想想也只用于節(jié)約了板書的時間，便于一些課外資料的補充。當(dāng)然平時也方便給學(xué)生播放一些教學(xué)資料片，沒有其它作用。故函數(shù)概念教學(xué)與信息技術(shù)的整合也是值得我們探討的課題。沒有充分利用多媒體，滿足學(xué)生不同的需求。我們應(yīng)充分利用計算機輔助教學(xué)，將現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)成果作為手段在教學(xué)領(lǐng)域里運用。讓學(xué)生觀察、理解，探索研究，發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律。給學(xué)生一個主動建構(gòu)的過程，和一個思維的空間，讓學(xué)生參與包括發(fā)現(xiàn)、探索在內(nèi)的獲得知識的全過程。充分利用網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建一個智慧共享的平臺。將學(xué)習(xí)空間拓展到“地球村”，幫助學(xué)生尋找自已合適的學(xué)習(xí)伙伴。
２．２學(xué)生掌握函數(shù)概念的情況分析
筆者分別對初中、高中、大學(xué)的部分學(xué)生和相應(yīng)的一些老師做了如下的幾個調(diào)查，從中了解到學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)知水平的大體情況。由于各個調(diào)查中所選取的樣本容量較小，可能不能全面真實的反映情況，但是能反映部分情況，以供科學(xué)研究分析。
調(diào)查１：（問卷１見附件一）
調(diào)查對象：湖南漣源巿斗立山鎮(zhèn)第二中學(xué)初三某班和婁底市三中初三某班，抽取樣本120人。
調(diào)查的目的：了解初三學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)識水平。（在學(xué)生學(xué)習(xí)完了第十三章函數(shù)及其圖像后進行了此次測試。）
調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計表明：對一個現(xiàn)實背景下的函數(shù)關(guān)系，初次接觸函數(shù)的學(xué)生理解兩個量之間的關(guān)系有些困難。這主要體現(xiàn)在問卷的第１道題，兩個學(xué)校分別有21%和19%的學(xué)生搞不清余油量與行駛時間，誰為自變量，誰為因變量。第２道題解方程考察學(xué)生對變量的理解。令人吃驚的兩個學(xué)校分別有７２％和６９％的學(xué)生重新解了“新”方程。Ｗagner(1981)在<<Advanced Mathematics Thinking>>一書中談到對變量的理解:一部分學(xué)生接受,認(rèn)為數(shù)保持相同時,字母變化不會對數(shù)造成影響；另一部分學(xué)生把改變變量字母的問題看作一個新問題，并不發(fā)生學(xué)習(xí)上的遷移。因此調(diào)查的結(jié)果表明沒有發(fā)生學(xué)習(xí)遷移的學(xué)生比例偏高。第３道考察學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，兩個學(xué)校分別有７５％和６５％的學(xué)生把它作為類似于多項式求值問題，求出兩個端點的函數(shù)值，有些學(xué)生還寫出了一些可笑的答案，如：“ ”，不能很好地結(jié)合圖像來解答。第４道題考查學(xué)生用所學(xué)知識判斷函數(shù)圖像的能力。學(xué)生對此題中沒有見過的函數(shù)圖像不會用正確的方法判斷。在學(xué)生對函數(shù)圖像的概念表象中，他們認(rèn)為函數(shù)圖像要么是直的一條線，要么是彎得像碗一樣。而給出解析式去判斷是否為函數(shù)的正確率要高。對第５道題，考查學(xué)生利用函數(shù)知識解決實際問題的能力。對此題大部分學(xué)生受以往“唯一標(biāo)準(zhǔn)答案的影響”，胡亂的猜測一種就交差了。學(xué)生對從實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力相當(dāng)欠缺。同時深刻地反映出我國傳統(tǒng)教育的弊端：從小到大，太習(xí)慣于尋找一個標(biāo)準(zhǔn)答案了，不用說數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)，就是語文填空，都只有一個標(biāo)準(zhǔn)答案，慢慢地我們的學(xué)生的思維就被統(tǒng)一了，被限制在同一種固定的模式里。讓人頓悟為什么我們的產(chǎn)品缺乏核心競爭力？沒有差異的教育模式怎么能教育出有差異的人才？沒有差異的人才怎么能設(shè)計制造出有差異的產(chǎn)品？確實如此，在一個固定的教學(xué)模式中，在所有思維指向“標(biāo)準(zhǔn)答案唯一”的框框內(nèi)，學(xué)生是不會產(chǎn)生出創(chuàng)新意識的，也不會有創(chuàng)新能力的，我們的一些陳舊的教育觀念已經(jīng)到了不得不改的地步。筆者提倡有不同層次答案的非終結(jié)性問題是突破口之一。在我們的數(shù)學(xué)思考中必須有非程式、非算法、非形式化的成分，只有把“雙基”與其相結(jié)合，才能培養(yǎng)出充滿生機與活力的智者。
調(diào)查２：（問卷２見附件二）
調(diào)查對象：婁底三中高一某兩個班部分學(xué)生共抽取樣本100人，(兩個班分別隨機抽取樣本50人)
調(diào)查目的：了解高一學(xué)生對函數(shù)的理解情況與認(rèn)知水平。（此次調(diào)查是學(xué)生學(xué)習(xí)完“函數(shù)的單調(diào)性”后進行的。）
調(diào)查結(jié)果：在問卷２中第１題是考察學(xué)生對函數(shù)定義的理解程度，要求學(xué)生用自己的語言寫出函數(shù)的定義，調(diào)查結(jié)果并不令人滿意。大部分同學(xué)是記得書上原定義的部分內(nèi)容。而沒有完全理解好函數(shù)的本質(zhì)。例如：有人寫的是“兩個量的關(guān)系表達(dá)式，應(yīng)用很廣的東西。” “用 表示 的一個等式”。這些只知道函數(shù)的外在表現(xiàn)形式，其它大部分同學(xué)是將初中和高中的函數(shù)定義的一部分內(nèi)容寫在答卷上。問卷中的第２道是考察學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，盡管學(xué)生在學(xué)習(xí)了“函數(shù)的單調(diào)性”這一部分內(nèi)容時接觸的函數(shù)主要是以圖像表示，學(xué)生利用圖像作為表象的能力應(yīng)有明顯的進步，但對于處理函數(shù)最值這類問題仍習(xí)慣于函數(shù)的解析式。例如在此題中，學(xué)生中大致有３類典型的解法。
解法１：因為 ，所以 即 ，即可求出最值分別為１３和１５。
解法２： 且 ， ，當(dāng) 或６時， 取最大值， 。
解法３：畫出 的圖像，由圖形求出最值。
而問卷２中的第３題是考察學(xué)生對變量的理解，75％的學(xué)生回答正確，有２０％的學(xué)生答案為［０，１］。其中部分學(xué)生是因為聯(lián)不等式“ ”解錯了，剩下的同學(xué)是沒有完全理解定義域的本質(zhì)。第４題考察學(xué)生對函數(shù)定義的理解，第（１）（２）小題給出了具體的表達(dá)式，學(xué)生判斷的正確率高，而對第（３）小題學(xué)生雖然對分段函數(shù)有了初步認(rèn)識，而此題特殊在定義域沒有明確給出，有２５％的學(xué)生回答錯誤，而對于第（４）小題，３５％的學(xué)生回答錯誤，表明學(xué)生對生活中函數(shù)現(xiàn)象不太敏感。第５題是作的順便調(diào)查，關(guān)于學(xué)生對數(shù)學(xué)史知識是否重視和掌握。只有少部分學(xué)生注意了書上旁邊的注解，能夠回憶起來。答卷中有人這樣寫道：“這東西誰關(guān)心，不知道。”這從一方面也反映我們的老師沒有引起足夠重視。第６題全班只有一個人是作出函數(shù)圖像來解題的。這說明學(xué)生習(xí)慣于代數(shù)式的求解，數(shù)形結(jié)合的能力有待加強。像這樣一道題只要做出了如下圖像A4.1，問題都迎刃而解。第７題是一道不定項選擇題，有一定難度，學(xué)生中答對的不多，說明學(xué)生思考問題還不周全。第８題是要求學(xué)生寫出生活中的一些函數(shù)現(xiàn)象。大致寫出了：銀行利率與時間，水電費與用水量，電話費與打電話的多少，上網(wǎng)費與上網(wǎng)時間，人的身高與體重分別與時間，一天的氣溫與時間的變化情況，個人所得稅與工資，騎車的路程與時間等等，學(xué)生所舉的例子還是停留在書本出現(xiàn)過的一些生活中的現(xiàn)象。
調(diào)查３：（問卷３見附件三）
調(diào)查對象：本校數(shù)學(xué)專業(yè)一批即將成為中學(xué)數(shù)學(xué)教師的四年級本科生，共抽取樣本
１００人。
調(diào)查目的：了解經(jīng)過８年的函數(shù)學(xué)習(xí)后學(xué)生的認(rèn)知水平。
調(diào)查結(jié)果：第１題是用自己的語言寫出函數(shù)的定義，由于大部分同學(xué)不記得書上定義了，所以沒有像高中同學(xué)那樣取書上定義的部分內(nèi)容作為自己的語言。而是從函數(shù)定義中蘊含的三要素出發(fā)來回答的，有人這樣回答的：“函數(shù)包括三部分：定義域，對應(yīng)法則，值域。這三個部分構(gòu)成了函數(shù)。”有人這樣回答的：“對于定義域下的任何一個 ，在對應(yīng)法則 下，都有唯一的 值與它對應(yīng)的一種特殊映射。”還有人是這樣寫的：“一個或多個 值，均有唯一的一個 與之對應(yīng)的一種關(guān)系。”等等。大都集中在對函數(shù)表現(xiàn)形式上寫定義。第２題第（１）小題有６０％的人回答是同一函數(shù)，而對（２）小題１００％的人回答不是同一函數(shù)。第３題的第（１）小題有２８％的回答是函數(shù)，其中有人簡單地認(rèn)為“只要是表達(dá)式就是函數(shù)”。還有些人認(rèn)為能畫出圖像的都是函數(shù)，而 的圖像是一個圓非常熟悉，理所當(dāng)然是函數(shù)。而對于第（２）小題“ 是不是函數(shù)一題”，有４０％的人認(rèn)為是函數(shù)，其中有人認(rèn)為直線都是函數(shù)，而“ ”是表示一成直線，理所當(dāng)然是函數(shù)，還有人認(rèn)為是常量函數(shù)。而對第（３）小題有３６％的人回答不是函數(shù)，其中大部分錯誤地認(rèn)為根本沒有 的出現(xiàn)，不可能表示函數(shù)，還有部分同學(xué)是認(rèn)為不存在對應(yīng)法則，故不可能表示函數(shù)。對第４題的回答，有人認(rèn)為只要能表示成圖像的都是函數(shù)，所以有部分同學(xué)認(rèn)為全部存在與之對應(yīng)的函數(shù)。上題全部答對占４４％。沒有答對的大都沒有抓住一個 值只有在都對應(yīng)而且只對應(yīng)一個 值時才能構(gòu)成函數(shù)。錯誤地認(rèn)為只要能表示成圖像的都是函數(shù)。第５題，考慮周全的人不多。有人簡單的認(rèn)為是一條上升的直線。如：
圖1. 圖2.
圖3. 圖4.
圖１，這類學(xué)生沒有弄清題意，飛機著陸之前必須繞北京機場幾圈；圖２，這類學(xué)生錯誤地認(rèn)為在北京機場繞圈時距離保持不變。這樣認(rèn)為的人占多數(shù)，說明對現(xiàn)實生活的感受能力不強；圖３，這類學(xué)生，認(rèn)為繞圈，距離變成了圓圈。只有幾位同學(xué)畫對了，繞圈時距離應(yīng)為圖4的振動圖像。第６題回答的正確率也不高，主要是不定項選擇，選不全，考慮問題欠周全。第７題同學(xué)們想到了：對號入座；一夫一妻；買賣中的錢與重量，寄放包時每個人一個密碼等比高中生對生活中的函數(shù)現(xiàn)象感知能力強。
2．3近幾年中考、高考考查函數(shù)知識統(tǒng)計分析
近三年婁底市初中畢業(yè)會考數(shù)學(xué)試卷考查函數(shù)知識情況統(tǒng)計分析如下表1:
表1
時間 填空題 選擇題 運算題 應(yīng)用題 占總分的百分比
2002年 4分 0分 6分 8分 18%
2003年 6分 3分 6分 8分 23%
2004年 4分 3分 7分 9分 23%
近十年高考試卷中考查函數(shù)知識統(tǒng)計情況 如下表2
表2
時間 選擇題 填空題 綜合題 占總分的百分比
1992年 16分 0分 12分 18.7%
1993年 8分 8分 12分 18.7%
1994年 17分 0分 12分 19.3%
1995年 13分 4分 12分 19.3%
1996年 8分 0分 34分 28%
1997年 12分 4分 24分 26.7%
1998年 14分 0分 24分 25.3%
1999年 20分 0分 26分 30.7%
2002年 17分 0分 24分 27.3%
2003年 13分 0分 24分 24.6%
由以上兩表可以看出,函數(shù)知識一直是中考、全國高考考查的重點。近十多年來,一直分別占中考、高考總分的20%左右。而通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)學(xué)生對這類函數(shù)概念的考核和建立函數(shù)關(guān)系題得分率比較低。從統(tǒng)計中還發(fā)現(xiàn)一些考題確實讓人拍手叫好!例如:1998年高考選擇題中,有這樣一道題:
向高為H的水中注水,瓶注滿為止, 如果注水量V與深H的函數(shù)關(guān)系的圖像如上圖所示,那么水瓶的形狀是( )。
回答此問題,學(xué)生需要理解函數(shù)及其圖像的概念,從而能夠通過函數(shù)圖像讀懂注水量與水深這兩個變量之間的關(guān)系,根據(jù)水瓶的形狀想象在注水過程中,隨著水位的升高注水量增長速度的變化,從此做出判斷。函數(shù)知識除了在中考和高考中是考查的重點以外，一些競賽活動和一些測試評價題目中也經(jīng)常出現(xiàn)。如PISA（The Programme For International Student Assessment ）2000年數(shù)學(xué)測試題。PISA是世界經(jīng)濟合作與發(fā)展組織(The Organization for Economic Co-operation and Development)的一項國際學(xué)生評價項目。有這樣一道題，一輛賽車在一個周長為3千米的封閉跑道上高速行駛。下圖反映了它在整個第二圈的行駛過程中速度與行駛路程之間的關(guān)系：
這個題有多問，其中的兩問是：
問題一：賽車在第二圈的行駛過程中有時沿直線行駛，并且有一段直線路程最長。則當(dāng)它開始走這段路程的時候，它與起點的距離大約是多少？
（A）0．5千米 （B）1.5千米
（C）2．3千米 （D）2.6千米
問題二:根據(jù)題中所給的圖形,下面五條曲線中哪一條最能反映賽車的運動軌跡?
這也是一個典型的函數(shù)問題,反映了賽車在行駛過程中速度與行駛路程的關(guān)系。但問題并未以一個函數(shù)表達(dá)式的形式給出,而是用直觀圖像來反映。學(xué)生通過讀圖，理解問題中速度與路程的依存關(guān)系。第一個問題并非要求學(xué)生得出精確的答案，而是通過觀察函數(shù)圖像，根據(jù)問題中的“時刻”，判斷賽車“大約”行駛的路程，滲透了近似估算。同時要求學(xué)生對路況變化和車速變化之間的關(guān)系有一個合理的、常識性的分析。第二個問題則更要求學(xué)生聯(lián)系實際和生活經(jīng)驗做出思考，拐彎處車速自然要慢一些，而且彎拐得越急（曲率越大），車速越需降低。再聯(lián)系起始點，共有幾個彎、幾段直線路程等信息，與函數(shù)圖像做一對比分析自然不難得出答案。這個問題所要評價學(xué)生的是對函數(shù)本質(zhì)的理解，而不是細(xì)枝末節(jié)。［20］
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