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數(shù)學分析教學改革的幾點認識和體會論文
在數(shù)學專業(yè)的本科教學中，“數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何”通常稱為“老三基”，是大學低年級學習的重要基礎(chǔ)課，其中數(shù)學分析尤其重要。首先它歷時最長，總學時約300學時左右，其教學過程貫穿三到四個學期；其次它為學生提供學習后繼專業(yè)課程（如常微分方程、復變函數(shù)論、實變函數(shù)論、概率統(tǒng)計等）所必須的基本理論、基本方法和基本技能。數(shù)學分析所體現(xiàn)的分析思想，邏輯推理方法，處理問題的技巧以及整個數(shù)學思維方法，在數(shù)學學習和科學研究中起著奠基性的重要作用。數(shù)學分析一直是數(shù)學教學的重中之重，而數(shù)學分析的教學也一直存在諸多難點，比如：教學內(nèi)容過于抽象化、理論化，容易使學生感到枯燥，難以理解，激發(fā)學生的學習興趣難；教授具體的知識點容易，使學生掌握相關(guān)的數(shù)學思想、培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和創(chuàng)新能力難；與數(shù)學系其他專業(yè)課程、與初等數(shù)學的學習進行適當?shù)你暯与y等等．
針對上述難點，下面我們結(jié)合自己多年來進行數(shù)學分析教學改革的實踐，談?wù)刜些認識和體會。
1聯(lián)系初等數(shù)學與初等微積分進行教學
微積分理論是數(shù)學分析與高等數(shù)學教學的主體。數(shù)學分析不同于高等數(shù)學的是，它已超出“經(jīng)典微積分”的范疇，更多地關(guān)注十九世紀微積分嚴格化的成果，甚至近代分析學的成果。簡言之，數(shù)學分析研究的是“嚴格意義下的微積分”
數(shù)學系新生在學習數(shù)學分析之前，絕大部分已經(jīng)在中學學過初等微積分，包括對極限和導數(shù)等概念的較為直觀的定義，以及較為簡單的求極限、求導數(shù)和求積分的運算等。而在大學階段所學的“嚴格意義下的微積分”，涵蓋了初等微積分的內(nèi)容，并在此基礎(chǔ)上對極限、導數(shù)等概念給出了嚴格的數(shù)學定義，同時對微積分理論體系中的定理給出了嚴格的證明。為了在中學微積分教學的基礎(chǔ)上，立足于更高的觀點來講授數(shù)學分析，激發(fā)學生學習的興趣，同時讓學生認識到學習“嚴格意義下的微積分”的必要性，我們作了如下兩點嘗試：
11聯(lián)系初等數(shù)學進行教學。
初等數(shù)學是常量的、靜態(tài)的數(shù)學，它只能解決和解釋常量的幾何問題和物理問題，比如求規(guī)則圖形的長度、面積和體積，勻速直線運動的速度，常力沿直線所作的功，以及質(zhì)點間的吸引力等；微積分是變量的、動態(tài)的數(shù)學，它解釋和解決那些變化的幾何問題和運動的物理過程，特別是描述一些物體的漸近行為和瞬時物理量等，比如不規(guī)則圖形的長度、面積和體積，一般運動問題，變力沿曲線作功，一般物體間的吸引力等。
例1導數(shù)概念的引入——變速直線運動，切線斜率。
初等數(shù)學一般討論勻速直線運動，速度為：^表示速度，s表示位移，表示時間。但是如何求變速直線運動在時刻z的瞬時速度呢？=lim^，這里土為仏時間后的位移差。這里用極限描述的是A—0時，平均速度趨向于瞬時速度。
同樣在討論切線問題時，初等數(shù)學定義為過圓的半徑端點且垂直于該半徑的直線或與圓只有一個交點的直線稱為圓的切線，這是孤立靜止的觀點，它并不適用于所有的曲線。要考慮任意曲線在其上任意一點處的切線，需要用運動的觀點考察問題。在曲線上任取一動點，連接兩點的直線即為曲線的割線，當動點沿曲線無限接近定點時，割線的極限位置即為曲線在該點的切線，切線的斜率為運動割線斜率的極限。
例1考慮的速度和斜率在勻速運動和直線的情形下，其計算是簡單的除法，但對于“非勻速運動”和“曲線”，其計算就是求導數(shù)，即求函數(shù)增量與自變量增量商的極限。相應(yīng)地，求函數(shù)增量可以用求微分近似代替。
例2積分概念的引入——曲邊梯形的面積和變力作功。
例2考慮的面積和功在直邊形和常力的情形下，其計算是簡單的加法與乘法，但對“曲邊形”和“變力”的情形，其計算就是積分。
綜合上述兩例，可以給出一個不太準確的說法：微積分研究的是“非線性情形下的和差積商”
講解導數(shù)和積分概念時，要突出背景問題的運動變化和非線性的特征，與初等數(shù)學形成鮮明的對比——從直到曲、均勻到非勻、常量到變量、有限到無限，從而使學生認識到微積分是數(shù)學從常量時期進入變量數(shù)學時期的一個重要的里程碑，并逐步學會運用運動變化的觀點來看待和解決問題。
1。2聯(lián)系初等微積分，運用悖論和反例進行教學。
學生在中學里已經(jīng)初步認識了微積分最重要的幾個基本概念，并學會了初步的微積分算法。進入大學后，他們接觸到“嚴格意義下的微積分”，經(jīng)常會產(chǎn)生兩個問題：
一是難以接受微積分概念的嚴格數(shù)學定義，如數(shù)列極限的HV定義、一致連續(xù)的定義等，在學習過程中感到極大的困難；
二是對已經(jīng)學過的微積分中的相關(guān)運算缺乏耐心，沒有進一步深入探究和學習的動力。
為了解決上述問題，我們在教授相關(guān)內(nèi)容時，首先是盡量完整清晰地給出概念的具體背景，講清楚概念的來龍去脈，降低學生學習的困難，其次，也是我們更為看重的一個方法是：密切結(jié)合初等數(shù)學和初等微積分的內(nèi)容，運用悖論和反例進行教學，使學生體會到微積分嚴格化的必要性，同時在進行計算和證明時有意識地驗證條件，避免陷阱。
例3發(fā)散級數(shù)悖論。
例4可以使學生驚訝地發(fā)現(xiàn)，原來常用的變量替換也是不能隨便用的，前提條件是函數(shù)極限必須存在丨結(jié)合這個例子，可以提醒學生，在運用函數(shù)極限的相關(guān)運算法則進行計算的時候，也必須先驗證法則的適用條件是否成立。
通過上述例子，使學生體會到直觀的認識、常規(guī)的做法常常是很不可靠的，為了在實際應(yīng)用中避免出現(xiàn)謬誤，必須加深對概念的理解，學習它們的嚴格化定義，同時對法則的適用條件要進行嚴格的驗證，并學會把標準法則的條件加以弱化或改變，以使法則適用于更廣闊的領(lǐng)域。
2揭示概念間的內(nèi)在聯(lián)系
在數(shù)學分析教學中，最基本的要求是讓學生掌握基本知識，基本技能。但是僅僅只有這些是遠遠不夠的。數(shù)學分析教的不僅是_種知識，更是_種思想，一種學習數(shù)學的方法。對_些具體的知識，通過進行抽絲剝繭般的分析，從不同特征中找出共同的本質(zhì)，揭示出概念間的內(nèi)部聯(lián)系，就可以使零散的知識點統(tǒng)一起來，并使學生對分析學的基本概念和基本思想加深認識。
數(shù)學分析概念繁多，但是數(shù)學分析的幾個重要概念，如函數(shù)的連續(xù)、可導和可積[1]，都可以用極限的思想將它們連貫串通起來。
從教學過程中可以不斷的啟發(fā)學生，雖然這三種定義完全不同，但要注意到這些定義的共同點：都是通過極限定義的。以上三個定義實質(zhì)是三種不同形式的極限�？梢姌O限是這些定義的基礎(chǔ)。從連續(xù)、可導、可積概念出發(fā)可以推廣到多重積分，曲面、曲線積分，級數(shù)等等。這樣，極限就將整個數(shù)學分析聯(lián)系起來了。所以，極限思想可以說是貫穿數(shù)學分析的始終。
3與后續(xù)課程聯(lián)系起來進行教學
我們在數(shù)學分析教學過程中，_直試圖將數(shù)學分析和_些后續(xù)課程如常微分方程、泛函分析、實變函數(shù)等聯(lián)系在_起進行，以便加深學生對于各門課程之間聯(lián)系的了解，進而充分認識到數(shù)學分析是整個數(shù)學的重要基礎(chǔ)。
例5從研究對象出發(fā)，揭示數(shù)學分析、實變函數(shù)、泛函分析之間的內(nèi)在聯(lián)系。
a）數(shù)學分析研究的主要對象——函數(shù)，可記作y—/（x）。定義域是R中子集，自變量取值為實數(shù)。
b）泛函分析[3]中研究的主要對象之泛函，可記作y=/（gO。定義域是由函數(shù)構(gòu)成的集合，
自變量取值為函數(shù)或映射。泛函就是以函數(shù)為自變量的特殊映射。
c）實變函數(shù)w中研究的主要對象之測度，可記作y=rn（E）。定義域是以集合為元素構(gòu)成
的集合，自變量取值為集合。測度是以集合為自變量，滿足_定規(guī)則的特殊映射。
在學習數(shù)學分析的時候，就讓學生了解：道著研究對象的不同而形成了不同的數(shù)學分支。這樣能進_步擴大學生的知識面，加強學生對學習的興趣；同時可進一步加深學生對數(shù)學分析中函數(shù)概念的理解，對于后續(xù)課程如實函、泛函的學習就有一定的幫助。
實質(zhì)上方程（1）就是一個常微分方程。從方程（1）可以直觀地看出所謂的微分方程就是含有有關(guān)未知變量導數(shù)的方程。常微分方程中導數(shù)是關(guān)于一個自變量的導數(shù)。若方程中有關(guān)于多個自變量的導數(shù)，那就是偏微分方程。之前我們學習的方程從本質(zhì)上說都是代數(shù)方程。
將求隱函數(shù)的導數(shù)和介紹常微分方程聯(lián)系起來，可為下一步學習常微分方程作鋪墊，同時可加深對隱函數(shù)導數(shù)的理解，也進一步加深學生對數(shù)學分析這門基礎(chǔ)課的重要性的認識。
4注重講解知識的來源啟發(fā)學生進行創(chuàng)新
在數(shù)學分析教學中，注意講解知識的來源，運用觀察、啟發(fā)、歸納的手段讓學生掌握數(shù)學研究的方法，調(diào)動學生進行數(shù)學研究的興趣，提高其創(chuàng)新的能力。
例7泰勒展式[1]的推導過程。
1、計算驗證猜想，解決問題；通過計算可證實我們的猜想。
通過以上三步，可以很自然地推導出泰勒展式。在教學過程采用類似于例7的教學方法，可提高學生的創(chuàng)新興趣，使學生掌握數(shù)學研究的基本方法，且具有初步的創(chuàng)新能力。
5結(jié)合數(shù)學史進行教學
我國老_輩數(shù)學家余介石等人曾受美國數(shù)學家克萊因的深刻影響，主張：歷史之于教學，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學高山仰止之思，收聞風興起之效。更可指示基本概念之有機發(fā)展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融和調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會之一事也這對于數(shù)學分析教學來說，尤其如此。結(jié)合數(shù)學史進行教學可以提高學生的學習興趣，加強學生對于相關(guān)知識的理解。另外從數(shù)學史的整個發(fā)展趨勢中，學生可以初步了解微積分知識的基本框架。
例8教授數(shù)學分析第一章——實數(shù)集與函數(shù)，引入第_次數(shù)學危機的故事。
大約公元前5世紀，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導致了“畢達哥拉斯悖論”。畢達哥拉斯學派認為：宇宙間—切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。但后來由于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，進一步發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）。這一新發(fā)現(xiàn)直接觸犯了畢氏學派的根本信條，稱為“畢達哥拉斯悖論”該悖論導致了當時認識上的“危機”，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學危機。
在發(fā)現(xiàn)無理數(shù)之前，人們認為只有整數(shù)和整數(shù)之比，這一認識是做為公理存在的。但隨著知識的發(fā)展，社會的進步，當時的公理導致了悖論的出現(xiàn)。通過了解第一次危機，提高了學生的學習興趣，鼓勵學生開展創(chuàng)新，而不總是墨守成規(guī)。同時對有理數(shù)有了更深刻的理解，增加了對于實數(shù)性質(zhì)學習的興趣。
例9無窮小的學習與第二次數(shù)學危機。
無窮小是零嗎？一一第二次數(shù)學危機，貝克萊悖論。貝克萊指出：牛頓在求導數(shù)時認為無窮小既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬的”。沒有清楚的無窮小概念，從而使得導數(shù)、微分、積分等概念也不清楚，無窮大概念不清楚，而且導致了發(fā)散級數(shù)求和的任意性，符號的不嚴格使用，不考慮連續(xù)就進行微分，不考慮導數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等問題。
通過第二次數(shù)學危機，對照數(shù)學分析教材中無窮小的概念，學生可以加深理解：無窮小是一類趨向于零的函數(shù)，常數(shù)零也是一類特殊的無窮小。
上面這些是我們在多年數(shù)學分析教學中得到的一些認識和體會，每進行一輪數(shù)學分析的教學，都會有一些新的認識和新的體會以及新的感悟。如何把這些感悟、這些教材上沒有用公式表述出來的思想，傳授給學生，讓學生除了掌握教材中數(shù)學分析的系統(tǒng)知識體系之外，還能體會到那種只可意會、不可言傳的美妙思維方法，這是我們努力的目標。
總而言之，數(shù)學分析常講常新。
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