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數(shù)學(xué)研究教學(xué)探討的論文
中學(xué)教學(xué)教師在教學(xué)過程常發(fā)現(xiàn)：部分數(shù)學(xué)優(yōu)等生對課堂教學(xué)常感到“吃不飽”，無目的超前學(xué)習(xí)教師尚未講授的新課，但實際上對教師正講授的內(nèi)容卻未能深入挖掘，出現(xiàn)掌握欠牢，理解欠透現(xiàn)象。另外，少數(shù)在中學(xué)階段數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生，進入大學(xué)后，對大學(xué)教師講課不適應(yīng)，至少要經(jīng)過一段時間才逐漸適應(yīng)，總希望大學(xué)教師講課象中學(xué)教師講得那么“細”。這就對中學(xué)教師提出以下問題：如何使學(xué)生的求知欲得到滿足，使學(xué)生的思維充分發(fā)展，使中學(xué)生到大學(xué)學(xué)習(xí)的適應(yīng)期盡量縮短？將大學(xué)中的研究式教學(xué)方法結(jié)合中學(xué)特點加以應(yīng)用，我認為很有必要。數(shù)學(xué)優(yōu)秀生（誠然，優(yōu)與差是相對而言，但每個學(xué)校、班級總存在一部分數(shù)學(xué)成績突出，培育前途大的這類學(xué)生）都有較旺盛的求知欲，較廣泛的興趣，較敏銳的觀察力，較集中注意力，較強的進取心和一定的探索精神。應(yīng)該充分發(fā)揮他們的智能潛力。使之冒尖，這對為四化輸送人才是非常重要的。
大學(xué)少年班是優(yōu)秀生集中的地方，少年班教師探索的研究性教學(xué)法，很有借鑒作用。“在教學(xué)方式的改進中，我們正在模索所謂研究性教學(xué)方法。研究性教學(xué)就是講演課上和其他類型的課上，不斷地提出問題，研究分析問題和必要的課堂討論等方式講授，以幫助學(xué)生掌握知識、提高分析能力”
既是教學(xué)中心又是科研中心的大學(xué)，必然在著重加強基礎(chǔ)訓(xùn)練同時，又要使教學(xué)過程帶有研究性質(zhì)，在教學(xué)過程中，提出學(xué)生覺得需要解決的問題，加以適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)習(xí)研究。在解決問題的同時，提高學(xué)生思維能力，使教學(xué)與科研相結(jié)合。那么研究式教學(xué)就有著必然性，成為調(diào)動大學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性、創(chuàng)造性和辯證思維能力的重要手段。
在中學(xué)教學(xué)中，為了有目的性，針對性調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、主動性，引導(dǎo)他們在教學(xué)大綱范圍內(nèi)鞏固基礎(chǔ)知識，提高能力，發(fā)展智力，將來適應(yīng)大學(xué)的研究性教學(xué)形式，我認為，中學(xué)教學(xué)教育中，也可以根據(jù)中學(xué)生特點，采取“提問質(zhì)疑--自學(xué)求索--討論研究--總結(jié)提高”的中學(xué)教學(xué)研究式教學(xué)方法。
提問質(zhì)疑。在課堂上，課外活動中或數(shù)學(xué)講座上，根據(jù)學(xué)生水平，教材內(nèi)容，提出需要解決的問題，激發(fā)學(xué)生興趣，引起對學(xué)習(xí)某種知識的需要，產(chǎn)生學(xué)習(xí)研究的動機，對求知欲旺盛的學(xué)生來說，也起到引導(dǎo)他們正確學(xué)習(xí)方向的把關(guān)作用，防止無目的不切實際的“亂學(xué)”，即一是“引趣”二是“定向”。
自學(xué)求索。教師引導(dǎo)學(xué)生對課本或有關(guān)課外閱讀材料，書籍，學(xué)習(xí)與研究問題有關(guān)的知識，要求學(xué)生精讀教材或課外書。掌握有關(guān)知識或提出不懂問題。
討論研究。在課堂上（提出的問題在教材范圍內(nèi)且與大多數(shù)學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)有關(guān)）或在課外（提出的問題有一定難度）由集體（小組或教師與個別有關(guān)學(xué)生）進行探索研究，介紹自己的學(xué)習(xí)體會或解決問題的方法。
總結(jié)提高。由老師或?qū)W生總結(jié)解決問題的方法或結(jié)論，進行歸納小結(jié)，可采用老師在課堂上或數(shù)學(xué)講座中總結(jié)規(guī)律，解答疑難，也可由學(xué)生寫讀書筆記或小論文。用自己的語言進行歸納，談出自己學(xué)習(xí)心得或獨立見解。
在《不等式》一章教學(xué)中，課本對基本不等式“A=≥=G”的證明，只要求對n=2.3的情況進行證明，當(dāng)學(xué)生運用公式達到一定熟悉程度時，便對數(shù)學(xué)成績好的學(xué)生（對成績中等以下則要求不要去研究，以免加重負擔(dān)），提出怎樣證明公式一般情形，介紹有關(guān)學(xué)生閱讀華羅庚的《數(shù)學(xué)歸納法》或其他教學(xué)參考書，數(shù)學(xué)成績好的學(xué)生興趣很濃，翻閱有關(guān)書籍學(xué)習(xí)，并對常見兩種證法提出不懂問題進行熱烈討論。最后，教師在數(shù)學(xué)講座中給以講解，并對教學(xué)歸納法證明中的一些技巧或“變著”進行介紹，加深了數(shù)學(xué)愛好者對數(shù)學(xué)歸納法的深入理解。其中有一個學(xué)生在一本課外書上看到關(guān)于這個公式證明的簡單介紹：可用“如果a1a2…=a=1（a1a2…an∈R+）則a1+a2+an≥n”（實際上是公式A≥G的特例）證明公式“A≥G”而前者則可用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)他學(xué)習(xí)研究有困難，教師加以指導(dǎo)。這個學(xué)生終于解決這一問題，則讓他歸納總結(jié)，寫成小論文，后發(fā)表在《中學(xué)生數(shù)學(xué)報》1985年第5期。這種證法介紹給其他學(xué)生，學(xué)生感到較前面兩種證明方法易懂。通過這樣做，使學(xué)生帶著問題，圍繞當(dāng)前學(xué)的基礎(chǔ)知識去自學(xué)研究，使知識面擴寬，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。
“什么是創(chuàng)造性思維？”它是主動地，獨創(chuàng)性地發(fā)現(xiàn)新事物，提出新的見解，解決新的問題的一種思維形式，就是我們平常說的能做到舉一反三聞一知十。這里的創(chuàng)造，不是指科學(xué)家的發(fā)明創(chuàng)造，科學(xué)家的發(fā)明創(chuàng)造是說他們所發(fā)現(xiàn)和解決的問題往往是人類不曾發(fā)現(xiàn)和解決的新事物，而學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造和解決問題僅僅是對于他本人來說是一種新鮮事物。學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)和發(fā)展，有助于他們將來進行更大的創(chuàng)造�！埃ㄕ掠郎骸督逃睦砼c教學(xué)法》）誠然培養(yǎng)中學(xué)生的創(chuàng)造性思維，首先會有利于中學(xué)生將來到大學(xué)深造時主動地有創(chuàng)見性的學(xué)習(xí)。中學(xué)的研究式的教學(xué)法與大學(xué)少年班的研究式有不少差別：如對象不同---少數(shù)數(shù)學(xué)優(yōu)等生與群體優(yōu)等生（且優(yōu)的程度差別很大）。性質(zhì)不同--解決尚未學(xué)懂的問題與解決尚未解決的問題。方式不同---以發(fā)揮老師主導(dǎo)作用解疑為主與發(fā)揮學(xué)生主體作用為主。但都是為了培養(yǎng)學(xué)生主動的積極的創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)動機、方法和能力。前面介紹研究“A≥G”公式證明有創(chuàng)見（即通過學(xué)習(xí)探討獲得新知識）的學(xué)生，爾后學(xué)數(shù)學(xué)的興趣愈濃，參加1986年全國數(shù)學(xué)競賽獲自治區(qū)三等獎，他所在班級（即筆者任教并試行此法的八七理二班）學(xué)數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)的空氣很濃，參加1986年全國高中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽時，有12人獲地區(qū)一、二、三等獎，有一人獲自治區(qū)一等獎，二人獲自治區(qū)二等獎，有一人獲自治區(qū)三等獎，體現(xiàn)了學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，創(chuàng)造性思維能力都有很大提高。
提問質(zhì)疑，其目和是喚起學(xué)生的興趣，求知欲，好奇心，必須難度適當(dāng)，不能脫離教學(xué)大綱和學(xué)生實際，而應(yīng)該是能體現(xiàn)教學(xué)大綱，讓學(xué)生通過自己的積極努力能理解并感到克服學(xué)習(xí)困難產(chǎn)生一種樂趣的這種適當(dāng)難度�？梢赃@樣說，讓學(xué)生跳一跳才能摘到樹上的果子。若伸手可得或高不可攀都是不可取的，適當(dāng)?shù)馁|(zhì)疑，讓學(xué)生經(jīng)�！疤惶闭焦�，這樣多跳幾次，“彈跳力”---自學(xué)能力，分析能力等就隨之提高了。
在“自學(xué)求索”這一階段，必須培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)習(xí)慣。讀書的方法和鉆研的精神，即自學(xué)能力。例如在立體幾何關(guān)于《直線與平面平行的判定定理》一節(jié)中，在課前預(yù)習(xí)提出下列問題：1、直線與平面有幾種位置關(guān)系？判定方法怎樣？2、直線與平面判定定理怎樣證明？還有其他方法嗎？課堂上，學(xué)生都可以回答上述兩個問題，特別是對第二問題討論熱烈，列舉各種證法，經(jīng)過總結(jié)，提高了學(xué)生對反證法的運用能力。然而，向?qū)W生提出“直線與平面平行的判定方法是怎樣思考到的？”這一問題時，學(xué)生都無從回答，其原因是學(xué)生在“自學(xué)求索”這一過程中，學(xué)生僅在預(yù)習(xí)課本時，直接記出定理，沒有求索探因，對第一個問題（這是本節(jié)最基本問題）覺得似乎易懂而放棄思索研究，筆者帶領(lǐng)學(xué)生再進一步研究直線與平面的直線在平面內(nèi)，直線與平面相交平行三種位置的特點：用一支細直棍（代表直線）在一平面進行“在平面內(nèi)”“平行”的變化過程的演示。
將直線先從在平面內(nèi)，再平行移動到平面外，來找到線向平行的判定方法。這樣做使學(xué)生對教材深入鉆研，自學(xué)求索。過去，筆者是先從上述演示而引起線與平面平行判定定理，再證明，這樣做可稱“啟發(fā)式”，而現(xiàn)在采取先提出問題，讓學(xué)生經(jīng)過自學(xué)研究等階段來總結(jié)提高，可稱“研究式”。
研究式的教學(xué)方法可應(yīng)用于課堂教學(xué)（如立幾的線面平行判定定理一節(jié)）中，可與其他教學(xué)形式有機結(jié)合在一起進行課堂教學(xué)，也可應(yīng)用于課外研究，數(shù)學(xué)講座，數(shù)學(xué)課外活動小組，指導(dǎo)個別數(shù)學(xué)優(yōu)等生學(xué)習(xí)。（如公式“A≥G”的證明）
對某個數(shù)學(xué)問題的研究，不應(yīng)畢其功于一役，而應(yīng)該結(jié)合學(xué)生掌握知識的程度的不斷提高而引導(dǎo)學(xué)生在“自學(xué)求索”“討論研究”兩個階段中逐漸深入研究問題。
在解析幾何《橢圓》一節(jié)中有這樣一個例題：我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道，是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點A距地面439公里，遠地點B距地面2384公里，地球半徑為6371公里，求衛(wèi)星軌道方程。
此題計算不難，學(xué)生很容易掌握，但下課前，提出問題，為什么地球的近地點和遠地點分別在橢圓長軸兩端點（實際上，在預(yù)習(xí)此課時，已有少數(shù)養(yǎng)成研究習(xí)慣的學(xué)生提出此問題），并結(jié)合題目分析歸納成一個極值問題：為什么橢圓上的點到焦點的距離的最遠點和最近點分別這橢圓長軸的兩端點？
課后，有的學(xué)生利用代數(shù)方法解決這一問題，但不少學(xué)生在遇到函數(shù)自變量為二個變量x.y時忘記了，“曲線上的點的坐標必滿足這曲線方程”這一基本概念，或者運算化簡過程中配方法不熟練。
當(dāng)學(xué)習(xí)到圓錐曲線統(tǒng)一定義時，第二次提出此問題讓學(xué)生研究，掌握用“求圓錐曲線點到焦點的距離可化這點到準線距離”來解決，減少變量個數(shù)。
當(dāng)學(xué)習(xí)參數(shù)方程時，第三次提出此問題，讓學(xué)生學(xué)會利用以角為參數(shù)方程，使代數(shù)極值問題化為三角函數(shù)極值問題來解決。
當(dāng)學(xué)習(xí)極坐標時，第四次提出此問題，讓學(xué)生找到更簡便解法。
在總結(jié)階段，讓學(xué)生歸納對比這些解法，總結(jié)提高解決這類極值問題的基本方法，使這個問題的討論研究貫穿于整個解析幾何的學(xué)習(xí)過程中，使學(xué)生在實踐中深刻認識鉆研教材的重要性，克服淺嘗輒止的不良習(xí)慣。鼓勵學(xué)生發(fā)展求異思維，引導(dǎo)學(xué)生從不同的方面不同角度探索多種解法，使研究的空氣更濃，興趣更強烈，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性、自覺性，不少學(xué)生主動圍繞課本定理、例題進行深入研究，對課本習(xí)題加以引伸推廣，感到研究數(shù)學(xué)其樂無窮。
誠然，中學(xué)數(shù)學(xué)研究式教學(xué)方法的可行性還在探索，如何完善，如何與其教學(xué)方法有機結(jié)合也在模索，筆者從改革教學(xué)方法提高教學(xué)質(zhì)量出發(fā)，僅僅是作為一個初步的嘗試和探討。
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