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淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展聯(lián)想能力的實(shí)踐與認(rèn)識
【摘要 】 如何發(fā)展學(xué)生的聯(lián)想能力是一個(gè)數(shù)學(xué)教師必須努力實(shí)踐與思考的重要問題。本文針對“發(fā)展學(xué)生聯(lián)想能力”的實(shí)踐從幾個(gè)方面：相似聯(lián)想、接近聯(lián)想、對比聯(lián)想、因果聯(lián)想進(jìn)行了分析，以及培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想能力的做法和體會(huì)。通過具體實(shí)例闡述發(fā)展學(xué)生聯(lián)想能力的必要性和運(yùn)用聯(lián)想解決問題的方法。
關(guān)鍵詞 ：形似聯(lián)想 、接近聯(lián)想、對比聯(lián)想
一、問題提出
自古以來，我國的教育家對培養(yǎng)學(xué)生思維能力就很重視，如孔子說：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”、“參乎，吾道一以貫之”，其中“一以貫之”就是融會(huì)貫通、舉一反三。錢學(xué)森也指出：“思維科學(xué)是教育科學(xué)的核心問題”。隨著教改的深入，人們越來越清楚地認(rèn)識到數(shù)學(xué)教育之培養(yǎng)能力的重要性。這里的能力，核心是數(shù)學(xué)思維能力，而聯(lián)想能力是數(shù)學(xué)思維能力的重要組成部分。這一切都要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)對學(xué)生聯(lián)想能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練。但不是所謂的題海戰(zhàn)術(shù)，有些教師深信熟能生巧，并采用這一原理來指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，事實(shí)證明：大量數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練和經(jīng)常性測驗(yàn)考試僅能提高學(xué)生成績，并不能培養(yǎng)學(xué)生思維能力，大量習(xí)題造成：學(xué)生機(jī)械地作業(yè)，及老師沒有講過的不敢想，沒有做過的不敢做的現(xiàn)象。我們應(yīng)要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，加強(qiáng)學(xué)生聯(lián)想能力等思維能力的培養(yǎng)。
二、聯(lián)想的理論基礎(chǔ)
聯(lián)想能力是一種多因素的綜合性能力，聯(lián)想思維是聯(lián)想能力的核心。
心理學(xué)家把人們的認(rèn)識過程一般分為為感知、理解、鞏固、應(yīng)用四個(gè)基本階段。感知是認(rèn)識新知識的起點(diǎn)，理解是認(rèn)識過程的中心，鞏固是暫時(shí)聯(lián)系的加強(qiáng)，應(yīng)用是認(rèn)識的繼續(xù)和深入，也是認(rèn)識的最終目的。人們以感性認(rèn)識為基礎(chǔ)，上升為思維，可以把外形、品質(zhì)不同但本質(zhì)相同的事物，歸納為一類。還可以認(rèn)識到存在于自然界植物、動(dòng)物之間的生態(tài)平衡關(guān)系，達(dá)爾文的《生物進(jìn)化論》是人們由感性認(rèn)識上升到思維的產(chǎn)物。而學(xué)生的學(xué)生過程與人們的認(rèn)識過程也是一致的，例如學(xué)生在學(xué)習(xí)了兩數(shù)和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2之后，就可以透過這一形式表達(dá)式，了解實(shí)質(zhì)含義，這就是思維過程。聯(lián)想思維屬于思維范疇，具有思維的一般特點(diǎn)。
從心理學(xué)方面來考察，聯(lián)想是由一事物想到另一事物的心理過程，也是記憶的再現(xiàn)過程。一般地說，記憶經(jīng)過一段時(shí)間會(huì)變得模糊、散亂，甚至“消失”。但暫時(shí)“消失”的記憶受當(dāng)前事物的刺激會(huì)再現(xiàn)出來，把當(dāng)前事物與過去的事物有機(jī)聯(lián)系起來。起這種作用的主要是聯(lián)想 ，聯(lián)想 可以喚醒沉睡的記憶，產(chǎn)生新觀念。
聯(lián)想是人們正常的思維活動(dòng)，平常的聯(lián)想往往是自發(fā)的，有隨意性，不見得有什么意義，并且大多數(shù)處于散漫無序的狀態(tài)，但在學(xué)習(xí)中，聯(lián)想?yún)s是思考問題、解決問題的出發(fā)點(diǎn)。波利亞解題思想也離不開聯(lián)想，波利亞說，在解題活動(dòng)中我們要設(shè)法“預(yù)測到解，或解的某些特征，或某一條通向它的小路”�！盎貞浧鹉承┯杏玫臇|西，把有關(guān)知識動(dòng)員起來”。而這種預(yù)測就離不開聯(lián)想，如果在思考問題時(shí)通過聯(lián)想產(chǎn)生這種預(yù)見，我們把它稱為有啟發(fā)性的想法或靈感。波利亞稱想出一個(gè)好念頭是一種靈感活動(dòng)，也是一種聯(lián)想思維過程。聯(lián)想不僅讓人能運(yùn)用舊知識解決新問題，同時(shí)會(huì)引導(dǎo)人們?nèi)ヌ剿魑粗氖澜纾?lián)想產(chǎn)生創(chuàng)造，飛機(jī)、潛艇的發(fā)明就是從鳥的飛翔、魚的沉浮，經(jīng)過聯(lián)想 反復(fù)試驗(yàn)而獲得的，一個(gè)人聯(lián)想豐富，這個(gè)人會(huì)被認(rèn)為聰明、點(diǎn)子多、反應(yīng)快。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，大約有70%以上的人愛聯(lián)想。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程和解題過程如果愛聯(lián)想即稱為愛動(dòng)腦筋，那么他們接受知識比較快，運(yùn)用知識之間的聯(lián)系解題也較快。當(dāng)然聯(lián)想能力與學(xué)生的知識是聯(lián)系在一起的，知識較豐富，聯(lián)想能力自然就強(qiáng)、聯(lián)想的范圍也廣闊。
從一定意義上講，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要鼓勵(lì)學(xué)生將所學(xué)的知識與未解決的問題聯(lián)系起來，展開合理、恰當(dāng)、有效的聯(lián)想。如求函數(shù)y= 的值域。若聯(lián)想到斜率K= ,則y= 可看作是點(diǎn)（2，-1）與圓x2+y2=1上的點(diǎn)（cosx，sinx）連線的斜率，這樣利用數(shù)形結(jié)合思想，可解出此題。若聯(lián)想到asinx+bcosx= sin(x+φ) 的形式也可解出。斜率公式 K= ,距離公式d= ,三角等式 =tan(x+ ),對數(shù)運(yùn)算法則等重要公式在具體問題的解決中均有重要的指導(dǎo)作用。
總之，一個(gè)人具有了聯(lián)想思維和聯(lián)想能力，解決問題時(shí)會(huì)更敏銳，更靈活，更有創(chuàng)造性。
三、聯(lián)想的類型
聯(lián)想主要有以下幾種類型。
(一)形似聯(lián)想
形似聯(lián)想也稱相似聯(lián)想或類比聯(lián)想，就是指事物某種屬性的相似性。
由于事物之間具有相同或相似的屬性，我們可以由一個(gè)事物已知的特殊性質(zhì)聯(lián)想到另一事物的特殊性質(zhì)。在日常生活中，人們很容易由江河想到湖海，由樹木想到森林等，就是因?yàn)檫@些事物具有相似之處。開普勒說：“我珍視類比勝于任何別的東西，它總是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的�！辈ɡ麃喺f過“類比是偉大的引路人”。
在解題過程中為了尋找問題的解
決線索，往往借助于類比聯(lián)想，以達(dá)到啟發(fā)思路的目的，因此，類比聯(lián)想在求解問題中有著廣泛的應(yīng)用。在解題教學(xué)中采用類比教學(xué)，可以達(dá)到梳理知識、歸納題型、總結(jié)解題方法，這樣做既有利于學(xué)生記憶和掌握所學(xué)知識，又有利于培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想思維的靈活性。
例1． 求證：若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0則x,y,z成等差數(shù)列。
�。河^察已知條件的外形，可聯(lián)想到一元二次方程的根的判別式
△ =b2-4ac非常相似，則類比題設(shè)可以構(gòu)造一個(gè)一元二次方程來求解。于是我們可把已知條件看作是t的二次方程 （x-y）t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的條件。
再次觀察還可以發(fā)現(xiàn)方程左邊的系數(shù)之和為零，故方程有兩個(gè)根為1，于是由韋達(dá)定理得：t1t2= =1
說明，由本例可見，一般的類比聯(lián)想解決問題線索為：觀察——類比——聯(lián)想。
例2． x R,求函數(shù)y= + 的最小值.
�。呵筮@樣的無理函數(shù)的最值，用代數(shù)法直接求解較難，可由條件聯(lián)想到距離公式，作如下變形：
y= +
設(shè)p(x,0),A(-1,-1),B(2,2)如圖1所示，
于是求y的最小值轉(zhuǎn)化為求x軸上一點(diǎn)p，
使 ︱PA︱+︱PB︱最小顯然是︱PA︱+︱PB︱≥︱AB︱=3
∴當(dāng)x=0時(shí),y =3
說明由“數(shù)”到“形”的類比聯(lián)想，獲得解題的新思路。
(二） 接近聯(lián)想
接近聯(lián)想是指在相互接近的事物之間形成的聯(lián)想。接近聯(lián)想是從已知探索未知的有力武器�；瘜W(xué)元素周期表的發(fā)現(xiàn)便是有力的例證，在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察問題的條件和結(jié)論，聯(lián)想到與之內(nèi)容相近的有關(guān)知識，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的思路。
例3：設(shè)(x-3)2+(y-3)2=6，試求
(1)y/x的最大值、最小值；（2）x2+y2最大值、最小值。
�。阂阎姆匠檀硪粋�(gè)圓Q，如圖2，題中的點(diǎn)M(x,y)均在圓周上，觀察第（1）題中的“y/x”
可以聯(lián)想到直線OM 的斜率，
欲求y/x 的極值，就是要求直線OM的斜率的極值，即切線OT1，OT2觀察第（2）題中的”x2+y2”,可以聯(lián)想到距離公式，而x2+y2的極值就是OQ與圓Q的交點(diǎn)p1、p2到原點(diǎn)O的距離。因此，兩個(gè)問題都不難解決。
說明：此題運(yùn)用接近聯(lián)想把相互接近的式子巧妙地聯(lián)系在一起，再找出解題方法。
�。ㄈ⿲Ρ嚷�(lián)想
對比聯(lián)想亦稱相反聯(lián)想。是指具有相反特征的事物或相互對立的事物之間所形成的聯(lián)想。在平時(shí)的教學(xué)中，對比聯(lián)想的事例比比皆是，如在指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的教學(xué)中，它們的定義域和值域、圖象和性質(zhì)，通過對比產(chǎn)生聯(lián)想，有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)和培養(yǎng)對比聯(lián)想能力。
例4：已知x,y,z R ,x+ =y+ =z+
求證：x=y=z
�。罕绢}條件是一個(gè)連等式，可化簡得到一個(gè)三元方程組
x2y+x=xyz+y
y2z+y=xyz+z
z2x+z=xyz+x
三式相加得等式x2y+y2z+z2x=3xyz①
聯(lián)想到不等式x2y+y2z+z2x 3
即x2y+y2z+z2x 3xyz②
比較①式和②會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等式成立。
說明：運(yùn)用對比聯(lián)想（等式和不等式）解題可起到意想不到的效果。
（四）因果聯(lián)想
因果聯(lián)想是從某一事物出現(xiàn)某種現(xiàn)象，從而聯(lián)想到它們之間的因果關(guān)系的一種思維方法。
（五）發(fā)散聯(lián)想
發(fā)散聯(lián)想就是在接觸某一事物時(shí)產(chǎn)生豐富的聯(lián)想，將思維向更廣闊的空間，得出更豐富的結(jié)論。我們在講解教材中的概念、法則、公式、例題時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同的方面，不同的角度去聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的發(fā)散思維能力。
如（ab）n=anbn,則(a1a2……an)n=?
(a+b)2=a2+2ab+b2,則（a1+a2+……+an）2=?
例5．如圖正方形ABCD中，E為BC上任意一點(diǎn)，∟EAD的平分線交CD于F，求證：BE+DE=AE
�。河梢阎獥l件和結(jié)論可聯(lián)想到將BE、DF放在一起，這樣可將△ADF旋轉(zhuǎn)到如圖△ABF，的位置。
：由題設(shè)中的直角三角形較多，
可聯(lián)想到用面積來探索解題思路，
由S△ABE+ S△AECF+S△ADF=S正ABCD可得。
：因條件中有角相等及直角關(guān)系，還聯(lián)想到三角函數(shù)來解，設(shè)正方形ABCD邊長為a，∠DAF=θ,
則BE=a tan( ),DF=a tan ,
∴BE+DF=a cot2 +a tan
=a.( + )
=a. =
而AE= = , ∴BE+DF=AE
說明：發(fā)散聯(lián)想思維是一種很重要的思維能力，它能導(dǎo)致許多科學(xué)發(fā)展創(chuàng)造，如：飛機(jī)、潛艇等。
四、培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想能力的做法
聯(lián)想能力的提高是改善學(xué)生思維品
質(zhì)的可靠保證，在平時(shí)的教學(xué)中不只是注重課本知識，更注重培養(yǎng)學(xué)生能力。一方面,因?yàn)槁?lián)想往往要利用頭腦中已有知識及解題方法，去探索新問題的解題途徑，所以學(xué)生不僅要理解基礎(chǔ)知識，而且還必須通過親自體驗(yàn)，即通過例題習(xí)題來鞏固，形成一種思想上的飛躍，以建構(gòu)自己的知識網(wǎng)，這樣才能舉一反三，產(chǎn)生聯(lián)想 。另一方面，在平時(shí)教學(xué)中不能拘泥于簡單的“做”，聯(lián)想是有條件的，是在對基礎(chǔ)知識熟練掌握及運(yùn)用的基礎(chǔ)上，進(jìn)行思考、反省、是高級智力活動(dòng)，過度的講與練，會(huì)剝奪學(xué)生獨(dú)立思考、自由發(fā)揮的機(jī)會(huì)，產(chǎn)生負(fù)面效應(yīng)，應(yīng)講究一個(gè)“度”。
例6：設(shè)0＜x＜1,0＜y＜1,求證: + + +
�。河^察不等式左邊的特征，
聯(lián)想到幾何中兩點(diǎn)的距離公式，
可將問題轉(zhuǎn)化為正方形OABC 內(nèi)點(diǎn)p(x,y)
到點(diǎn)A，B，C，O的距離之和不小于2 。（如圖）
即︱OP︱+︱BP︱+︱PA︱+︱PC︱≥︱OC︱+︱AB︱=2
：觀察不等式左邊每項(xiàng)被開方數(shù)都是兩個(gè)正數(shù)，故而聯(lián)想到基本不等式：a2+b2≥(a+b)2/2 (a＞0,b＞0)
原不等式左邊≥ (x+y)+ (1-x+y)+ (x+1-y)+ (1-x+y)
即左邊≥2
：觀察不等式左邊各項(xiàng)特征 ，聯(lián)想到復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，設(shè)Z1=X+Yi，Z2=（1-X）+Yi，Z3=x+(1-y)i,Z4=(1-x)+(1-y)i,
所以原不等式左邊也轉(zhuǎn)化為 ｜Z1｜+｜Z 2｜+｜Z 3｜+｜Z 4｜≥｜Z 1+ Z 2+ Z 3+ Z 4｜=｜2+2i｜=2
還可以聯(lián)想到正弦、余弦的三角函數(shù)，函數(shù)的極值等等，這樣即復(fù)習(xí)了代數(shù)幾何知識，又培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想思維能力。
例7：是否存在這樣的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,使它的圖象過點(diǎn)M(-1,0)且滿足條件對一切切實(shí)實(shí)x∈R都有x≤f(x) ≤ (1+x)
:單從結(jié)構(gòu)上聯(lián)想，就近掛靠基本不等式及其變形，直接建立它與ab≤( )2≤ （a,b∈R）的聯(lián)系，設(shè)a=1,b=x,所以f(x)=( )2= x2+ x+ ,且過點(diǎn)（-1，0），合乎題意，還可以構(gòu)造例題：是否存在這樣的二次函數(shù)其過點(diǎn)（-n ,0）,且對一切實(shí)數(shù)x滿足nx≤f(x)≤ (n +x ).
說明，一道好的數(shù)學(xué)題字里行間無不散發(fā)著大量信息，由此展開豐富的聯(lián)想，大膽的創(chuàng)新，直至關(guān)鍵的突破。
例8:設(shè)x∈,求證cscx-cotx＞ -1
由 ,1聯(lián)想等腰直角三角形,不仿構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形來研究.
作RT△ABC,令∠C=90.AC=1在AC上取一點(diǎn)D,設(shè)∠CDB=X,則BD=cscx,CD=cotx,AD=1-cotx利用AD+DB≥AB=
可得cscx-cotx≥ -1
說明:在教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生通過敏銳的觀察、豐富的聯(lián)想,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解題。
總之，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力要有一個(gè)過程，要體現(xiàn)層次，要充分讓學(xué)生思考，教師加以積極的引導(dǎo)，鼓勵(lì)他們聯(lián)想，而不應(yīng)將解題思路、定理結(jié)論等強(qiáng)加給學(xué)生。這樣才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力，提高他們分析問題、解決問題的能力。
下面是我在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想能力的教學(xué)案例。
課題：三角函數(shù)的解題技巧
在解三角函數(shù)的具體問題時(shí)，我們常需要通過豐富的聯(lián)想、靈活的構(gòu)思、創(chuàng)造性的思維等能力構(gòu)造數(shù)學(xué)模型來解決問題，因此在平時(shí)教學(xué)中我常設(shè)計(jì)這樣的習(xí)題課，讓學(xué)生積極想象，找出解題思維。
例1：若0＜β＜α＜ ，求證α-β＜tanα-tanβ
通過此題，學(xué)生熱烈討論后（討論了許多思路都行不能）教師可適當(dāng)提示，最后總結(jié)出用單位圓中的三角函數(shù)線求解。
例2：在△ABC中，已知2b=a+c，且a＜b＜c,C-A=90。
求證：sinA:sinB:sinC的值.有些同學(xué)很快由a:b:c=sinA:sinB:sinC
可如何求 a:b:c呢？又由C-A=90。，聯(lián)想到相似三角形，根據(jù)相似三角形性質(zhì)及勾股定理來求出三邊之比。（△ABC～△CBD）
例3：設(shè)m是給定的非零常數(shù)，f(x)定義在R上，且對任意x。，有f(x+m)=
求證：f(x)為周期函數(shù)、并求其周期。
此題屬于抽象函數(shù)題較難，同學(xué)們討論分析的時(shí)間也最長。最后在教師的指導(dǎo)下，由f(x)為周期函數(shù)聯(lián)想到三角函數(shù)，再由條件f(x+m)=
的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到正切公式tan(x+ )= 因?yàn)閠anx的周期是π，恰為π/4的4倍，因此同學(xué)生們猜想f(x)的周期有可能為4m，有些同學(xué)并給出如下證法：
f(x+m)=
f(x+２m)=f(x+m+m)=-
f(x+3m)=f(x+2m+m)=
f(x+4m)=f(x+3m+m)=f(x)
所以f(x)是周期函數(shù)，其周期為4m。
通過上述例子的分析學(xué)生對抽象函數(shù)的問題就有了比較好的思考途徑。接著給出下列問題讓學(xué)生思考：
設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對于任意x1,x2∈（0， ）。都有f(x1+x2)=f(x1)* f(x2)求f( )和f( ).
并讓學(xué)生考慮，根據(jù)下面所列函數(shù)的性質(zhì)，聯(lián)想它們可能對應(yīng)哪些初等函數(shù)（1）f(xy)=f(x)f(y),(2)f(x+y)=f(x)+f(y),
(3)f(x-y)=f(x)-f(y),這樣幾種常見的函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)系起來了。
在教學(xué)中多舉例讓學(xué)生進(jìn)行合理聯(lián)想，使學(xué)生養(yǎng)成愛動(dòng)腦筋，積極主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題的習(xí)慣，對學(xué)好數(shù)學(xué)培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力起到積極的推動(dòng)作用。
五、實(shí)踐體會(huì)
當(dāng)然，在教學(xué)實(shí)踐中我深深之體會(huì)到，要提高學(xué)生的聯(lián)想能力還存在許多困難，因?yàn)椋孩?學(xué)生聯(lián)想意識不強(qiáng)，未養(yǎng)成愛聯(lián)想的習(xí)慣。②學(xué)生基礎(chǔ)知識掌握得不牢固，無想可聯(lián)。③有些學(xué)生思維活潑，可受較害羞、性格內(nèi)向、想了不敢說且不敢繼續(xù)想等心理的影響。我將在今后的工作學(xué)習(xí)中進(jìn)一步提高自己，努力發(fā)展學(xué)生聯(lián)想能力。
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