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如何認(rèn)識(shí)中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的數(shù)和形
摘要：數(shù)和形概念的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)的萌芽和起源，它們的發(fā)展進(jìn)程奠定了早期古代數(shù)學(xué)科學(xué)形成的基礎(chǔ)。從數(shù)和形開(kāi)始的中國(guó)早期古代數(shù)學(xué)，在發(fā)展過(guò)程中也伴隨著數(shù)學(xué)理念、思想的形成和發(fā)展。數(shù)和形的相關(guān)內(nèi)容和內(nèi)涵與古代人們的生活融為一體，對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)中數(shù)與形的認(rèn)識(shí)應(yīng)從社會(huì)整體角度來(lái)認(rèn)識(shí)才會(huì)全面深刻。
關(guān)鍵詞：中國(guó) 數(shù)和形 古代數(shù)學(xué)
一、中國(guó)早期數(shù)學(xué)中數(shù)與形的建立
學(xué)習(xí)和了解過(guò)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的人們都會(huì)清楚地記得，人類“數(shù)”的概念首先是從“結(jié)繩記事”和“刻痕記數(shù)”開(kāi)始。古代人從原始生活中收集到的小木棍、小石子，以及動(dòng)物的牙齒、骨頭開(kāi)始記數(shù)。而關(guān)于“形”的概念則是從原始生活中建造器具、修建簡(jiǎn)易居住房屋開(kāi)始的。
“數(shù)”的發(fā)展過(guò)程中，隨著殷墟甲骨文中的一、二、三文字的出現(xiàn)，各種秦漢竹簡(jiǎn)中關(guān)于不同版本“九九表”的記錄和“九九歌訣”的廣泛流行，以及早期“十六進(jìn)制”的創(chuàng)建應(yīng)用，可以認(rèn)為這些是中國(guó)早期數(shù)學(xué)中代數(shù)學(xué)的萌芽和形成;在這一個(gè)過(guò)程中“算籌”出現(xiàn)繼而有了完美的十進(jìn)位位值制記數(shù)法，是中國(guó)的獨(dú)特創(chuàng)造，是世界其他古代民族所沒(méi)有的。而“形”的發(fā)展過(guò)程，從古代生活器具的形狀以及它們上面的花紋和圖案，到建筑房屋所形成的平面和立體的幾何形狀，各種形狀的房頂搭建，生活及生產(chǎn)中各種方形、梯形、三角形、圓形等，再到后來(lái)的各種準(zhǔn)確測(cè)量和記錄，“割圓術(shù)”和“勾股定理”的推廣應(yīng)用，這一切都奠定并建立了中國(guó)古代幾何學(xué)的基礎(chǔ)。
單純地從一些書(shū)籍和文獻(xiàn)來(lái)看中國(guó)的古代數(shù)學(xué)，會(huì)認(rèn)為早期的中國(guó)古代數(shù)學(xué)中關(guān)于“數(shù)”和“形”的相關(guān)內(nèi)容不夠豐富，不夠充實(shí)，沒(méi)有形成基本的結(jié)構(gòu)和框架，也沒(méi)有連續(xù)性和系統(tǒng)性。帶有這種想法和態(tài)度，就難以認(rèn)識(shí)和體會(huì)到中國(guó)古代數(shù)學(xué)中“數(shù)”和“形”的廣度與深度，也難以認(rèn)識(shí)到早期中國(guó)古代數(shù)學(xué)所形成的體系和發(fā)揮的作用，因而對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的歷史地位和巨大貢獻(xiàn)就認(rèn)識(shí)不足。
中國(guó)文字起源于象形文字，數(shù)字也不例外，如，在“河圖洛書(shū)”中，數(shù)用圖來(lái)表示，圖可以表示數(shù)。這說(shuō)明數(shù)與形有時(shí)也沒(méi)有完全區(qū)別。
二、中國(guó)古代數(shù)學(xué)內(nèi)涵的非單一性
數(shù)和形的相關(guān)內(nèi)容和內(nèi)涵與古代人們的生活融為一體，不可分離。
在當(dāng)時(shí)宗教與社會(huì)生產(chǎn)和生活緊密相聯(lián)系的時(shí)期，許多東西的含義不是單一的，具有多方面的意義，也不具有排他性，共生共存。許多后來(lái)被人們提煉出來(lái)的具有數(shù)學(xué)意義的內(nèi)容和抽象出來(lái)的具體數(shù)學(xué)表達(dá)形式，其實(shí)最開(kāi)始出現(xiàn)的形態(tài)和內(nèi)涵并非來(lái)源于數(shù)學(xué)本身。首先這些內(nèi)容來(lái)源于古代人們對(duì)生活和生產(chǎn)的初步認(rèn)識(shí)與總結(jié)，其次逐步上升到對(duì)事物內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)知和世界觀的形成。如“道生一、一生二、二生三、三生萬(wàn)物”，這是道家的哲學(xué)思想，一直影響著人們，至今仍是了解古代人們思維形成過(guò)程和思想進(jìn)步的重要參照，它仍具有必然的歷史意義和現(xiàn)實(shí)意義。從哲學(xué)層面來(lái)看，它反映出一種遞增關(guān)系，是一種逐漸發(fā)展的過(guò)程;同時(shí)也是一種頭尾相連相互依存與相互回應(yīng)的內(nèi)在關(guān)系，具有相互循環(huán)甚至等同的含義。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，“一”和“萬(wàn)”，首先它是一個(gè)“數(shù)”的概念，而且反映出了在“量”上的差異，但它不只反映出數(shù)字上的大與小、多與少，同時(shí)也可用一個(gè)數(shù)學(xué)式子將兩者聯(lián)系在一起。因而，這種思想內(nèi)涵既有哲學(xué)上的意義同時(shí)也具有數(shù)學(xué)意義。
三、一切人類文明結(jié)晶都是社會(huì)發(fā)展的必然產(chǎn)物，數(shù)學(xué)也不例外
每一個(gè)地域的古代文明，必然伴隨著大量文明智慧的結(jié)晶，從而形成了各具特色、豐富多彩的文化形態(tài)，今天去看待和解讀這些文明成果時(shí)，應(yīng)具有一種開(kāi)放的態(tài)度和全面的視角。
1974年陜西西安發(fā)掘出的秦始皇兵馬俑，這是一個(gè)具有時(shí)代意義的發(fā)現(xiàn)，它將2000多年前世界上先進(jìn)的成就、偉大的文明展現(xiàn)在人們面前。僅對(duì)一號(hào)坑進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，就挖掘出了6000多個(gè)鎧甲俑，各種兵器、戰(zhàn)車等物品加在一起，數(shù)目巨大。在2000多年前的秦朝，如何統(tǒng)計(jì)這些“數(shù)”，如何計(jì)算這些物品，必將是一件十分復(fù)雜而困難的事情，其中必將包含有數(shù)學(xué)計(jì)算和其他數(shù)學(xué)原理的內(nèi)容�？梢韵胂螅舢�(dāng)時(shí)沒(méi)有一系列有效的統(tǒng)計(jì)方法，沒(méi)有一套較為準(zhǔn)確的良好計(jì)算，今天人們就無(wú)法看到這個(gè)輝煌的成果，從單個(gè)的“數(shù)”到極其大量的“數(shù)量”。從數(shù)到數(shù)量，這是一個(gè)思維的形成和進(jìn)步，這是一個(gè)質(zhì)的突破，一個(gè)內(nèi)涵上的飛躍。
單純地從甲骨文中的簡(jiǎn)單數(shù)字，難以看到中國(guó)古代數(shù)學(xué)的全貌，其實(shí)從目前眾多的文物和史料中，可以不斷地豐富和發(fā)展人們對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，如：在成都金沙遺址中，可以看到3000多年前商周時(shí)期出土的眾多精美玉器，其優(yōu)美的曲線、曲面造型極具美感并具有數(shù)學(xué)意義。
四、文明特點(diǎn)及多樣化表達(dá)，不影響中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就
中華文明的特點(diǎn)之一就是在表達(dá)上的多樣化，許多數(shù)學(xué)意義和思想隱藏在文字的表達(dá)里面，數(shù)學(xué)方法與計(jì)算方式就少有體現(xiàn)，在古代時(shí)期更是如此，如用兵馬過(guò)萬(wàn)、率眾人馬、不計(jì)其數(shù)等文字記載，來(lái)反映數(shù)量的多少。容易造成現(xiàn)代人在認(rèn)識(shí)中國(guó)古代數(shù)學(xué)時(shí)有種“模糊”的感覺(jué)，在與其他的地域文明相比較時(shí)，感覺(jué)那些時(shí)期的數(shù)學(xué)內(nèi)容不夠豐富，體系形成得不夠完整與嚴(yán)謹(jǐn)，缺乏清晰和數(shù)字化的印象，其數(shù)學(xué)理論也沒(méi)有得到有效的建立，因而削弱了中國(guó)古代數(shù)學(xué)在人們心中的地位。然而，從早期出現(xiàn)的文明史料“河圖洛書(shū)”中可看到，盡管它不是專業(yè)性的源于數(shù)學(xué)的文明成果，但它確實(shí)具有十分豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容以及表現(xiàn)形式，從某種意義上講，今天在理解和研究“河圖洛書(shū)”時(shí)，更應(yīng)該去探索它在數(shù)學(xué)發(fā)展上的重要性，以及當(dāng)初形成時(shí)的數(shù)學(xué)思想脈絡(luò)以及思維發(fā)展的軌跡。這樣才會(huì)揭開(kāi)歷史真相，還原古代人們的智慧光芒。就其現(xiàn)實(shí)意義來(lái)講，它所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和思想是不可替代的，其歷史地位不可低估。這種思想的起源及延續(xù)深刻地影響著人們的思維方向，為人類后來(lái)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中建立和發(fā)展出的幻方、數(shù)獨(dú)和群論等數(shù)學(xué)學(xué)科起到了奠基的作用。中國(guó)最早的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)實(shí)物《算表》，利用乘法交換律原理，能夠快速計(jì)算100以內(nèi)的兩個(gè)任意整數(shù)的乘積，還能夠計(jì)算包含特殊分?jǐn)?shù)“半”的兩位數(shù)乘法，被認(rèn)為是目前發(fā)現(xiàn)的最早的實(shí)用算具�！端惚怼樊a(chǎn)生的春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)高潮，而且為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的第一個(gè)高潮提供了佐證。
五、早期形成的潛在數(shù)學(xué)思想和方法今天仍有意義
同樣用秦始皇兵馬俑來(lái)認(rèn)識(shí)當(dāng)時(shí)的“形”，戰(zhàn)車車身的直線和立方體，車輪的圓弧線和圓柱體，在當(dāng)時(shí)，這些物體的造“形”如此精美，鑄造得如此細(xì)致，沒(méi)有杰出的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法是無(wú)法達(dá)到的。
兵馬俑中關(guān)于馬匹形狀的造型，以及秦朝以前商周時(shí)期的各種青銅器的形狀造型，只從某些局部就能看到那是一些復(fù)雜的曲面，早已不是平面幾何所能解決的問(wèn)題，用今天的立體幾何來(lái)看，仍是十分復(fù)雜的圖形，用解析幾何來(lái)認(rèn)識(shí)，將會(huì)是十分復(fù)雜的曲線方程和曲面方程。目前仍具有啟迪和借鑒意義，也為后來(lái)中國(guó)在形的方面的突破奠定了基礎(chǔ)。例如，在臺(tái)北故宮博物院中，至今珍藏著清朝時(shí)期的眾多物品，其中，一個(gè)用象牙制作的球圖形雕刻十分精美，象牙球內(nèi)外共計(jì)24層，各層均可旋轉(zhuǎn)，且各層造型獨(dú)特。
在數(shù)形結(jié)合方面也用得非常巧妙，例如勾股定理的證明，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)“弦圖”來(lái)進(jìn)行證明，就是數(shù)形轉(zhuǎn)換的一個(gè)極好的例子。此外，在用數(shù)形結(jié)合的方法上用得也非常廣泛，如，劉徽的“牟合方蓋”模型。祖沖之在劉徽的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出球體體積的正確公式，并提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”的體積原理，即二立體等高處截面積均相等則二體體積相等的定理。
六、從社會(huì)整體角度來(lái)認(rèn)識(shí)才會(huì)全面深刻
“數(shù)”和“形”的發(fā)展與中國(guó)古代社會(huì)發(fā)展同步，這個(gè)過(guò)程也體現(xiàn)出社會(huì)文明進(jìn)步的過(guò)程。同時(shí)由于古代社會(huì)整體的生產(chǎn)力低下，人類的認(rèn)知水平和智力發(fā)展的局限性，一切活動(dòng)均是為了人類自身的簡(jiǎn)單生存而進(jìn)行的生產(chǎn)和生活。在中國(guó)古代，不可能形成單獨(dú)的數(shù)學(xué)學(xué)科，更不可能有意識(shí)地總結(jié)、提煉、歸納、綜合那些涉及到數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)和內(nèi)容。
從“數(shù)”和“形”開(kāi)始的中國(guó)早期古代數(shù)學(xué)，在形成和發(fā)展過(guò)程中也伴隨著數(shù)學(xué)理念和思想的形成發(fā)展，包裹在人們社會(huì)生活中的數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法，我們?cè)谡J(rèn)識(shí)中國(guó)古代數(shù)學(xué)時(shí)，不能簡(jiǎn)單孤立地從中抽離出來(lái)，在今天認(rèn)識(shí)和解讀時(shí)，必將回歸到當(dāng)時(shí)的環(huán)境和狀態(tài)中，只有從古代整體社會(huì)和人們生活這一切入點(diǎn)，才能科學(xué)客觀、全面深入地認(rèn)識(shí)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就和意義。
參考文獻(xiàn)：
[1]研究發(fā)現(xiàn)中國(guó)最早數(shù)學(xué)文獻(xiàn)實(shí)物《算表》[EB/OL].http：//www.chinanews.com/cul/2014/01-07/5707900.shtml
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