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鐵絲圍矩形問題的教學(xué)探索
摘要：在教學(xué)活動中實施有效教學(xué)，使學(xué)生的基礎(chǔ)性學(xué)力、發(fā)展性學(xué)力和創(chuàng)造性學(xué)力都得到很好的發(fā)展。
蘇科版教材九年級數(shù)學(xué)上冊第四章第三節(jié)中用一元二次方程解決鐵絲圍矩形的“動態(tài)”問題，設(shè)置了有一定挑戰(zhàn)性和思考性的現(xiàn)實問題情境。學(xué)生通過自主探索研究，可以提高分析問題、解決問題的能力，從而獲得更多的解決問題的方法和經(jīng)驗，更好的體會數(shù)學(xué)的價值。教師只需加以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)就可以了。下面加以簡要分析：題目：現(xiàn)有總長度為22m的柵欄，能否圍成面積是30m的矩形花圃?能否圍成面積是32m的矩形花圃?并說明理由。
學(xué)生獨立思考，舉手并嘗試分析：如果設(shè)這段柵欄圍成的矩形花圃的一邊長是xm，那么矩形花圃的另邊長是(22-2X)/2m。學(xué)生據(jù)此可以列出方程求解。
教師請兩名同學(xué)到黑板板演，其余同學(xué)在下面做。解題過程如下：
解：設(shè)這段柵欄圍成的矩形花圃的一邊長是xm，那么矩形花圃的另一邊長是(11-x)m。
(1)如果矩形花圃的面積是30m ，那么x(11-x)= 30，解這個方程，得x1=5，x2=6，從而算出長22m的柵欄能圍成面積是30m2的矩形花圃。
(2)如果矩形花圃的面積是32m2，那么X(11-x)=32，整理，得x2-11x+32=0因為b2-4ae=(-11)2-4 x 1X32=121—128=-7<0，所以此方程沒有實數(shù)解。因此長22m的柵欄不能圍成面積是32m2的矩形花圃。
學(xué)生的解答過程較好。教師激疑：難道說，一段長22m的柵欄可圍成的矩形花圃的面積是有范圍的嗎?學(xué)生認可。
教師：那么面積有怎樣的范圍?學(xué)生陷入深深地思考，并急于想獲知結(jié)果。同學(xué)們將思考聚焦在X(11-x)上，然后終于有學(xué)生有所發(fā)現(xiàn)，闡述觀點：設(shè)這段柵欄圍成的矩形花圃的一邊長是xm，那么矩形花圃的另一邊長是(1l-x)m，X(11-x)=一X2+11x=-(x-5.5)2+30.25,不論x取任何實數(shù)，X(11-x)的值總不大于30.25。同學(xué)們這才恍然大悟，原因、病根、癥結(jié)找到了，對問題的理解就更透徹了。
教師給予肯定。教師追問：哪位同學(xué)還會有其他發(fā)現(xiàn)?學(xué)生：當(dāng)一邊長為5.5m時，矩形的面積為最大，是30.25mz，此時四邊形的形狀為正方形。教師對同學(xué)們的細心發(fā)現(xiàn)表示贊賞。教師激疑：如果要用給定長度的柵欄圍成一個最大面積的四邊形區(qū)域，那么應(yīng)當(dāng)把這一區(qū)域的形狀選成什么四邊形?學(xué)生：正方形。教師繼續(xù)追問：如果要用給定長度的柵欄圍成一個最大面積的區(qū)域，那么應(yīng)當(dāng)把這一區(qū)域的形狀選成什么圖形?憑借以前的知識積累，學(xué)生回答是圓。教師：你們?nèi)绻苡脤嶒炚f明，就更好了。學(xué)生討論交流，嘗試舉例。如：可以在一塊四周均勻拉緊了的自行車內(nèi)胎薄膜上，用針劃一個細小的小口，它必然會變成近似圓形的小孔�；蚰靡桓彳浀钠とΓ椒旁谝粔K玻璃板上(皮圈與玻璃板之間無空隙)，向皮圈中間緩慢倒水，皮圈會變成圓形，而由于水的特性會保證水占有盡可能大的面積，所以問題得證。
學(xué)生的思維一旦發(fā)散，就像打開泄洪的閘門一樣，一發(fā)不可收拾。學(xué)生試圖利用液體的表面張力去探尋。教師組織學(xué)生小組合作，實際動手操作演示：先用細線打一個小圈(線要較軟，不要太長)，放在一個沾有肥皂水并形成薄膜的鐵絲圈上。再用針將線圈內(nèi)的薄膜刺破，這時由于線圈外的薄膜要收縮到最小面積，而將線圈拉成圓形，即空出來的面積最大。
學(xué)生小組合作，興致盎然，課堂氣氛熱烈。在教學(xué)中，如何通過設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生積極思考是很多教師的疑難問題。對于這道題筆者從x(11一x)=30的有解，到X(11-x)=32的無解，激發(fā)學(xué)生重新審視x(11-x)，得出了x(11-x)有著自身特有屬性，進而探究給定長度的柵欄圍成一個最大面積的四邊形區(qū)域是什么形狀?又從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗水平與最近發(fā)展區(qū)之間的問題人手，讓學(xué)生舉例，并通過實驗演示，驗證圍成一個最大面積的區(qū)域是圓形的結(jié)論，通過連續(xù)提問，誘導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、創(chuàng)造性地解決問題。學(xué)生對給定長度的線段圍成的最大面積的區(qū)域是圓的生活體驗，教師事先也無法了如指掌，學(xué)生的想法與思維既有“歸隊”的時候，也有“出軌”的時候，但也只有這樣切合學(xué)生的實際，才會真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“返璞歸真”。作為教學(xué)設(shè)計的實施環(huán)節(jié)，課堂教學(xué)實踐永遠是教師發(fā)揮創(chuàng)造性的最大舞臺。只要教師在課堂教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的自覺反思習(xí)慣，善于抓住培養(yǎng)學(xué)生反思意識的切人點，定能使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)的頭腦去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題等，學(xué)生將會終生受益，這也正切合數(shù)學(xué)教學(xué)所要達到的最終目的。
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