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2017小升初經(jīng)典數(shù)學(xué)行程問題及解析
為幫助同學(xué)們解決數(shù)學(xué)行程問題困惑，yjbys小編為大家準備以下這八道題目及解析，每道都非常非常經(jīng)典，每一道題目既簡單有趣又頗具啟發(fā)性。希望對小升初的學(xué)生有幫助。
1、甲、乙兩人分別從相距 100 米的 A 、B 兩地出發(fā)，相向而行，其中甲的速度是 2 米每秒，乙的速度是 3 米每秒。一只狗從 A 地出發(fā)，先以 6 米每秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉頭沖向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反復(fù)，直到甲、乙兩人相遇。問在此過程中狗一共跑了多少米?
這可以說是最經(jīng)典的行程問題了。不用分析小狗具體跑過哪些路程，只需要注意到甲、乙兩人從出發(fā)到相遇需要 20 秒，在這 20 秒的時間里小狗一直在跑，因此它跑過的路程就是 120 米。
說到這個經(jīng)典問題，故事可就多了。下面引用某個經(jīng)典的數(shù)學(xué)家八卦帖子： John von Neumann 曾被問起一個中國小學(xué)生都很熟的問題：兩個人相向而行，中間一只狗跑來跑去，問兩個人相遇后狗走了多少路。訣竅無非是先求出相遇的時間再乘以狗的速度。 Neumann 當然瞬間給出了答案。提問的人失望地說你以前一定聽說過這個訣竅吧。 Neumann 驚訝道：“什么訣竅?我就是把狗每次跑的都算出來，然后計算無窮級數(shù)……”
2、假設(shè)你站在甲、乙兩地之間的某個位置，想乘坐出租車到乙地去。你看見一輛空車遠遠地從甲地駛來，而此時整條路上并沒有別人與你爭搶空車。我們假定車的行駛速度和人的步行速度都是固定不變的，并且車速大于人速。為了更快地到達目的地，你應(yīng)該迎著車走過去，還是順著車的方向往前走一點?
在各種人多的場合下提出這個問題，此時大家的觀點往往會立即分為鮮明的兩派，并且各有各的道理。有人說，由于車速大于人速，我應(yīng)該盡可能早地上車，充分利用汽車的速度優(yōu)勢，因此應(yīng)該迎著空車走上去，提前與車相遇嘛。另一派人則說，為了盡早到達目的地，我應(yīng)該充分利用時間，馬不停蹄地趕往目的地。因此，我應(yīng)該自己先朝目的地走一段路，再讓出租車載我走完剩下的路程。
其實答案出人意料的簡單，兩種方案花費的時間顯然是一樣的。只要站在出租車的角度上想一想，問題就變得很顯然了：不管人在哪兒上車，出租車反正都要駛完甲地到乙地的全部路程，因此你到達乙地的時間總等于出租車駛完全程的時間，加上途中接人上車可能耽誤的時間。從省事兒的角度來講，站在原地不動是最好的方案!
不過不少人都找到了這個題的一個 bug ：在某些極端情況下，順著車的方向往前走可能會更好一些，因為你或許會直接走到終點，而此時出租車根本還沒追上你!
3、某人上午八點從山腳出發(fā)，沿山路步行上山，晚上八點到達山頂。不過，他并不是勻速前進的，有時慢，有時快，有時甚至?xí)Ｏ聛怼５诙�，他早晨八點從山頂出發(fā)，沿著原路下山，途中也是有時快有時慢，最終在晚上八點到達山腳。試著說明：此人一定在這兩天的某個相同的時刻經(jīng)過了山路上的同一個點。
這個題目也是經(jīng)典中的經(jīng)典了。把這個人兩天的行程重疊到一天去，換句話說想像有一個人從山腳走到了山頂，同一天還有另一個人從山頂走到了山腳。這兩個人一定會在途中的某個地點相遇。這就說明了，這個人在兩天的同一時刻都經(jīng)過了這里。
4、船在靜水中往返 A 、 B 兩地和在流水中往返 A 、 B 兩地相比，哪種情況下更快?
這是一個經(jīng)典問題了。答案是，船在靜水中更快一些。注意船在順水中的實際速度與在逆水中的實際速度的平均值就是它的靜水速度，但由前一個問題的結(jié)論，實際的總平均速度會小于這個平均值。因此，船在流水中往返需要的總時間更久。
考慮一種極端情況可以讓問題的答案變得異常顯然，頗有一種荒謬的喜劇效果。假設(shè)船剛開始在上游。如果水速等于船速的話，它將以原速度的兩倍飛速到達折返點。但它永遠也回不來了……
5、 甲、乙、丙三人百米賽跑，每次都是甲勝乙 10 米，乙勝丙 10 米。則甲勝丙多少米?
答案是 19 米。“乙勝丙 10 米”的意思就是，等乙到了終點處時，丙只到了 90 米處。“甲勝乙 10 米”的意思就是，甲到了終點處時，乙只到了 90 米處，而此時丙應(yīng)該還在 81 米處。所以甲勝了丙 19 米。
6、 哥哥弟弟百米賽跑，哥哥贏了弟弟 1 米。第二次，哥哥在起跑線處退后 1 米與弟弟比賽，那么誰會獲勝?
答案是，哥哥還是獲勝了。哥哥跑 100 米需要的時間等于弟弟跑 99 米需要的時間。第二次，哥哥在 -1 米處起跑，弟弟在 0 米處起跑，兩人將在第 99 米處追平。在剩下的 1 米里，哥哥超過了弟弟并獲得勝利。
7、 如果你上山的速度是 2 米每秒，下山的速度是 6 米每秒(假設(shè)上山和下山走的是同一條山路)。那么，你全程的平均速度是多少?
這是小學(xué)行程問題中最容易錯的題之一，是小孩子們死活也搞不明白的問題。答案不是 4 米每秒，而是 3 米每秒。不妨假設(shè)全程是 S 米，那么上山的時間就是 S/2 ，下山的時間就是 S/6 ，往返的總路程為 2S ，往返的總時間為 S/2 + S/6 ，因而全程的平均速度為 2S / (S/2 + S/6) = 3 。
其實，我們很容易看出，如果前一半路程的速度為 a ，后一半路程的速度為 b ，那么總的平均速度應(yīng)該小于 (a + b) / 2 。這是因為，你會把更多的時間花在速度慢的那一半路程上，從而把平均速度拖慢了。事實上，總的平均速度應(yīng)該是 a 和 b 的調(diào)和平均數(shù)，即 2 / (1/a + 1/b) ，很容易證明調(diào)和平均數(shù)總是小于等于算術(shù)平均數(shù)的。
8、你需要從機場的一號航站樓走到二號航站樓。路途分為兩段，一段是平地，一段是自動傳送帶。假設(shè)你的步行速度是一定的，因而在傳送帶上步行的實際速度就是你在平地上的速度加上傳送帶的速度。如果在整個過程中，你必須花兩秒鐘的時間停下來做一件事情(比如蹲下來系鞋帶)，那么為了更快到達目的地，你應(yīng)該把這兩秒鐘的時間花在哪里更好? 很多人可能會認為，兩種方案是一樣的吧?然而，真正的答案卻是，把這兩秒花在傳送帶上會更快一些。這是因為，傳送帶能給你提供一些額外的速度，因而你會希望在傳送帶上停留更久的時間，更充分地利用傳送帶的好處。因此，如果你必須停下來一會兒的話，你應(yīng)該在傳送帶上多停一會兒。
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