四色定理又稱四色猜想、四色問題，是世界三大數(shù)學(xué)猜想之一。四色定理是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)定理，通俗的說法是：每個(gè)平面地圖都可以只用四種顏色來染色，而且沒有兩個(gè)鄰接的區(qū)域顏色相同。1976年借助電子計(jì)算機(jī)證明了四色問題，問題也終于成為定理，這是第一個(gè)借助計(jì)算機(jī)證明的定理。四色定理的本質(zhì)就是在平面或者球面無法構(gòu)造五個(gè)或者五個(gè)以上兩兩相連的區(qū)域。
問題的提出
1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里(FrancisGuthrie)來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)每幅地圖都可以只用四種顏色著色。這個(gè)現(xiàn)象能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢?他和他正在讀大學(xué)的弟弟決心試一試，但是稿紙已經(jīng)堆了一大疊，研究工作卻是沒有任何進(jìn)展。
1852年10月23日，他的弟弟就這個(gè)問題的證明請教了他的老師、著名數(shù)學(xué)家德·摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個(gè)問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家哈密頓爵士請教，但直到1865年哈密頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。
1872年，英國當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會提出了這個(gè)問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題，世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。
從此，這個(gè)問題在一些人中間傳來傳去，當(dāng)時(shí)，三等分角和化圓為方問題已在社會上“臭名昭著”，而“四色瘟疫”又悄悄地傳播開來了。
四色原理的一種邏輯證明
地圖上任何一個(gè)區(qū)域必將存在鄰域，且又通過鄰域與其他非鄰域發(fā)生間接聯(lián)系，我們可以將任何一個(gè)地圖以圖論圖形的表示出來。
假設(shè)存在一張至少需要m種著色的地圖，那么決定該地圖必須要用m種著色的條件有且只有一個(gè)，即該地圖至少存在這樣一個(gè)區(qū)域Q，與該區(qū)域相鄰的所有區(qū)域必須滿足m-1著色。首先滿足這個(gè)條件后，Q只能用第m種顏色，其次如果這個(gè)推論一是錯(cuò)誤的，對于m著色地圖不存在這樣的區(qū)域，那么地圖上任何一個(gè)區(qū)域的鄰域只能滿足少于m-1的著色，那么整個(gè)地圖勢必不需要m中顏色，這與假設(shè)相矛盾，所以這是一個(gè)充分必要條件。(推論一)
假設(shè)隨意取一張任意結(jié)構(gòu)的至少m著色的地圖M，其上滿足上述條件的區(qū)域有n個(gè)，那么將圖論圖形中的這n個(gè)區(qū)域及其與鄰域的關(guān)系線我們可以全部去掉，這樣我們就將構(gòu)建一個(gè)至少m著色地圖M的問題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)在至少需要m-1著色地圖上添加n個(gè)滿足推論一條件的區(qū)域問題。
如果五著色地圖存在且能構(gòu)建成功，那么必然存在構(gòu)建這樣五著色的四著色模型圖，而要存在這樣的四著色模型圖必然存在構(gòu)建該四著色的三著色模型圖，同理要存在這樣的三著色模型圖必然要存在構(gòu)建它的二著色模型圖，那么我們來構(gòu)建一下五色圖是否存在：
二著色地圖是由一著色而來的一種簡單的著色地圖模型，我們很容易得到滿足二著色的地圖僅有的兩種類型的結(jié)構(gòu)，一種是不閉合的鏈狀結(jié)構(gòu)，如圖一;另一種是由第一種衍生出來的閉合的環(huán)狀結(jié)構(gòu)且環(huán)所聯(lián)系的區(qū)域?yàn)榕紨?shù)個(gè)，稱為偶數(shù)環(huán)，如圖二。
我們看下二著色結(jié)構(gòu)特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，圖一圖二都是一個(gè)原理就是奇偶位置決定著色，任何兩個(gè)區(qū)域的任何聯(lián)系鏈條只有相隔偶數(shù)個(gè)區(qū)域才滿足兩區(qū)域著色不同，我們定義這兩個(gè)區(qū)域?yàn)榕几粲颉?/p>
我們隨意取一張任意結(jié)構(gòu)的二著色的地圖M，來構(gòu)建一個(gè)具有n個(gè)滿足推論一條件區(qū)域的地圖Q，構(gòu)建方式有且只有一個(gè)，就是在圖論圖形中我們?nèi)绾稳サ舻倪@n個(gè)區(qū)域及其與鄰域的關(guān)系線，我們接怎么給它添加回去。我們?nèi)稳∵@n個(gè)區(qū)域中一個(gè)區(qū)域q為例，只要我們在M地圖上將必須滿足二著色的幾個(gè)區(qū)域W直接聯(lián)系到q上，這樣就滿足推論一中的條件而使Q必須為三著色。而W要滿足二著色則必定含有偶隔域，如果W有x個(gè)區(qū)域和q發(fā)生直接聯(lián)系，則q上出去的關(guān)系線有x個(gè)，那么我們一定可以將該復(fù)雜的聯(lián)系分解成x-1個(gè)不可分解關(guān)系環(huán)，其中至少有一個(gè)不可再分的關(guān)系環(huán)是M中的偶隔域與q聯(lián)系的，(推論二)假設(shè)這個(gè)推論是錯(cuò)誤的，所有不可再分的環(huán)全部是奇隔域，那么這些環(huán)拼接回去時(shí)滿足每個(gè)小環(huán)的間隔區(qū)域數(shù)相加再減去共用的區(qū)域，仍舊是奇隔域，這樣W便不滿足二著色，所以這些不可再分環(huán)中一定有偶隔域和q發(fā)生聯(lián)系而構(gòu)成奇數(shù)環(huán)(環(huán)連的區(qū)域?yàn)槠鏀?shù))，并且導(dǎo)致q必須使用第三色的就是這些不可再分的奇數(shù)環(huán)。由于滿足二著色的只有偶隔域一種條件，那么構(gòu)造的三著色地圖中決定三著色的條件也只有一種，存在不可再分的奇數(shù)環(huán)。
在上面構(gòu)建的三色著色地圖Q基礎(chǔ)上我們再來構(gòu)建四著色地圖P，假如P存在滿足推論一條件的區(qū)域有k個(gè)，同樣的方法，我們?nèi)稳中一個(gè)區(qū)域p，只要我們在Q地圖上將必須滿足三著色的幾個(gè)區(qū)域R直接聯(lián)系到q上，這樣就滿足推論一中的條件而使P必須為四著色。而R要滿足三著色則必定含有奇數(shù)環(huán)并且組成奇數(shù)環(huán)的區(qū)域都能夠與p發(fā)生聯(lián)系(保證奇數(shù)環(huán)沒有被包圍在其他閉合環(huán)內(nèi)的部分)，如果R有y個(gè)區(qū)域和p發(fā)生直接聯(lián)系，則p上出去的關(guān)系線有y個(gè)，那么導(dǎo)致p為第四色原因是可發(fā)生聯(lián)系的奇數(shù)環(huán)，既只要有一個(gè)這樣的奇數(shù)環(huán)存在就一定會導(dǎo)致p使用第四色(推論三)，假設(shè)這一推論不成立那么沒有這樣的奇數(shù)環(huán)存在，則由前面二著色建立三著色正經(jīng)得到，除了奇數(shù)環(huán)再沒有能使地圖為三著色的條件了，或者當(dāng)奇數(shù)環(huán)區(qū)域不能全部與p發(fā)生聯(lián)系，這樣p必然的不需要第四色了。故我們的推論三成立。由于三著色條件唯一而使得p四著色的條件唯一，我們來看四著色條件的特點(diǎn)，當(dāng)p與R發(fā)生聯(lián)系后，不管R有多少滿足條件的奇數(shù)環(huán)，勢必最終只能有包括p在內(nèi)的三個(gè)區(qū)域能與外界區(qū)域發(fā)生聯(lián)系。因?yàn)閜和R上的任何兩個(gè)區(qū)域都可以構(gòu)成一個(gè)封閉的三角形，而當(dāng)我們選的R上這倆區(qū)域與p關(guān)系線是最外側(cè)的關(guān)系線時(shí)，則R上其他區(qū)域一定不能在三角形外，不然或造成以上兩根關(guān)系線不再是最外側(cè)或者有關(guān)系線出現(xiàn)交叉，所以R上剩余區(qū)域必定在三角形內(nèi)而造成四著色圖最多只有三個(gè)區(qū)域能與外界發(fā)生聯(lián)系。
那么我們在構(gòu)建五著色地圖時(shí)，四著色結(jié)構(gòu)最多提供三種不同著色，不能滿足推論一的條件，而決定將無法構(gòu)建五著色地圖。
四色問題的簡單幾何圖形證明如下(對錯(cuò)不保證，如果方法錯(cuò)誤請刪除以下內(nèi)容)
0 這個(gè)證明是一個(gè)近似的證明。
1 對于二維平面，用無限分割三邊形來證明。(必須)
2 為了方便說明，所有三邊形為相同大小的等邊三角形為例。(并非必須)
3 因?yàn)榈冗吶切巫疃嘀挥腥齻�(gè)邊，最多只能與三個(gè)相同的等邊三角形接壤，算上自己最多就是四種顏色復(fù)雜度，也不可能出現(xiàn)第五種!
4 而地圖上各個(gè)國家的邊界就是這些三角形邊的近似組成，而領(lǐng)土就是這些三角形的近似拼合。這些三角形同樣具備上述顏色屬性。
a 類似的證明方法還有采用無限等邊多邊形分割等腰三角形的圓周率計(jì)算。
b 也有采用無限四邊形矩陣組合成的計(jì)算機(jī)屏幕上的像素，這些像素可以組合成任意幾何圖形。(圓的，方的，三角的，最好是矢量圖。)