投資額與生產總值和物價指數(shù)

投資額與生產總值和物價指數(shù)
問題
 為研究某地區(qū)實際投資額與國民生產總值（GNP）及物價指數(shù)的關系，收集了該地區(qū)連續(xù)32年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（見表1），目的是由這些數(shù)據(jù)建立一個投資額的模型，根據(jù)對未來國民生產總值及物價指數(shù)的估計，預測未來的實際投資額。
 表1的數(shù)據(jù)是以時間為序的，稱時間序列數(shù)據(jù)。由于投資額、國民生產總值、物價指數(shù)等許多經濟變量均有一定的滯后性，比如，前期的投資額對后期投資額一般有明顯的影響。因此，在這樣的時間序列數(shù)據(jù)中，同一變量的順序觀測值之間的出現(xiàn)相關現(xiàn)象（稱自相關）是很自然的。然而，一旦數(shù)據(jù)中存在這種自相關序列，如果仍采用普通的回歸模型直接處理，將會出現(xiàn)不良后果，其預測也會失去意義，為此，我們必須診斷數(shù)據(jù)是否存在自相關，如果存在，就要考慮自相關關系，建立新的回歸模型。
 
年份序號 投資額 國民生產總值 物價指數(shù)
1 90.9 596.7 0.7167
2 94.7 621.2 0.7199
3 97.4 637.7 0.7277
4 106.5 651.8 0.7311
5 113.5 691.1 0.7436
6 120.4 722.6 0.7564
7 125.7 756.0 0.7676
8 122.8 799.0 0.7906
9 133.3 873.4 0.8254
10 140.8 887.8 0.8456
11 149.3 944.0 0.8679
12 144.2 992.7 0.9145
13 150.6 1045.9 0.9355
14 166.4 1077.6 0.9601
15 178.5 1100.7 0.9734
16 195.0 1185.9 1.0000
17 211.3 1206.4 1.0214
18 229.8 1326.4 1.0575
19 228.7 1434.2 1.1508
20 206.1 1549.2 1.2579
21 236.4 1623.8 1.2847
22 257.9 1718.0 1.3234
23 274.6 1828.6 1.3566
24 324.1 1918.3 1.4005
25 355.6 2054.9 1.4526
26 386.6 2163.9 1.5042
27 423.0 2417.8 1.6342
28 401.9 2631.7 1.7842
29 432.5 2865.3 1.7905
30 451.3 2789.6 1.8102
31 474.9 2954.7 1.9514
32 424.5 3073.0 2.0688
                           
   表1 某地區(qū)實際投資額（億元）與國民生產總值（億元）及物價指數(shù)數(shù)據(jù)

基本的回歸模型建立
一、多重共線性檢驗
1.建立普通的回歸模型。
記該地區(qū)第年的投資額為, 國民生產總值為，物價指數(shù)為（以第十六年的物價指數(shù)為基準，基準值為1），=1，2，…，n(=32)。
從表1中可以看出，隨著國民生產總值的增加，投資額增大，而且兩者有很強的線性關系，物價指數(shù)與投資額的關系也類似，因此可建立多元線性回歸模型：
  （1）
模型（1）中除了國民生產總值和物價指數(shù)外，影響的其他因素的作用都包含在隨機誤差項內，這里的假設（對）相互獨立，且服從均值為零的正態(tài)分布=1，2，…，n(=32)。
（表2 ）  利用Eviews 對參數(shù)作OLS估計，輸出回歸結果：
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 06/07/04   Time: 22:32
Sample: 1 32
Included observations: 32
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 134.7327 44.65210 3.017387 0.0053
X1 0.333545 0.059365 5.618509 0.0000
X2 -339.0047 113.1687 -2.995569 0.0056
R-squared 0.978445     Mean dependent var 232.7875
Adjusted R-squared 0.976958     S.D. dependent var 123.2718
S.E. of regression 18.71213     Akaike info criterion 8.785281
Sum squared resid 10154.17     Schwarz criterion 8.922694
Log likelihood -137.5645     F-statistic 658.1864
Durbin-Watson stat 1.216500     Prob(F-statistic) 0.000000
將上述回歸結果整理如下：
參數(shù)估計值
將參數(shù)估計值代入（1）得到
                （2）
 （3.0174）    (5.6185)        (-2.9956)
         
2.分析。
    由 (顯著性水平=0.05),表明模型從整體上看投資額和解釋變量間線性關系顯著。

3．檢驗
(表3)
          
    1.000000      0.997349
    0.997349      1.000000
由表3可以看出，解釋變量之間存在高度線性相關。

4．修正(逐步回歸法)
（1）用OLS方法逐一求出對各個解釋變量的回歸。
 A.經分析在兩個一元回歸模型中投資額對國民生產總值的線性關系強，擬合程度較好，即
  
             (0.3360)    (32.1384)
 
B.將解釋變量代入上式，得
       
 （3.0174）    (5.6185)        (-2.9956)

（2）由上式中可知，，截距項對的影響都比較顯著，雖然和 間存在共線性但它們之間的共線性對模型的影響不是很顯著，對和的回歸模型已為最優(yōu)，所以保留原模型中的所有變量，得如下模型：
    
                        
異方差檢驗：
用OLS估計法估計參數(shù)（見表2）。
異方差檢驗：
（1）圖示法。
E2為殘差的平方，由GNER命令生成。（見圖1，圖2）

（圖1）

（圖2）結論：由上圖可以看出，X1與E2；X2與E2關系并不十分密切，可以初步判斷該模型可能不存在異方差。

（2）Goldfeld-Quandt檢驗。
將各數(shù)據(jù)按解釋變量的大小順序排列，然后將排列在中間的8個數(shù)據(jù)刪除掉，余下的數(shù)據(jù)分為兩個部分。
在Sample菜單里，將時間定義為1—12，然后用OLS方法求得下列結果：

       （3.0797）     (5.2902)         (-2.8977)
 
由以上回歸可以看出為147.2631
再在Sample菜單里將將時間定義為21-32，然后用OLS方法求得下列結果：

 (1.9904)       (3.1741)         (-1.7901)
 
由以上結果可以看出為7200.177
求F統(tǒng)計量：，
查F統(tǒng)計表，給定顯著性水平為0.05，得臨界值，比較，則拒絕，表明隨機誤差顯著的存在異方差。
(3)ARCH檢驗。
設ARCH檢驗過程的階數(shù)p=3,運用OLS方法對殘差平方E2進行輔助回歸，輸出的結果為：
Dependent Variable: E2
Method: Least Squares
Date: 06/09/04   Time: 12:37
Sample(adjusted): 4 32
Included observations: 29 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 140.4022 120.6048 1.164151 0.2554
E2(-1) -0.103031 0.179031 -0.575493 0.5701
E2(-2) 0.256704 0.168178 1.526386 0.1395
E2(-3) 0.542445 0.178434 3.040031 0.0055
R-squared 0.347635     Mean dependent var 349.4096
Adjusted R-squared 0.269352     S.D. dependent var 603.9755
S.E. of regression 516.2660     Akaike info criterion 15.45856
Sum squared resid 6663264.     Schwarz criterion 15.64716
Log likelihood -220.1492     F-statistic 4.440711
Durbin-Watson stat 1.820320     Prob(F-statistic) 0.012385
從輸出的輔助回歸函數(shù)中得到，從而可以計算出：
，查分布表，給定，自由度為P=3,得臨界值
因為，所以拒絕，表明模型中隨機誤差項存在異方差。

異方差修正
 模型對數(shù)變換
   對于變量和，分別用和取代,則有
            （3）
并對其使用OLS得到以下結果：
（表4）
Dependent Variable: LY
Method: Least Squares
Date: 06/08/04   Time: 15:25
Sample: 1 32
Included observations: 32
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
LX1 1.571511 0.244229 6.434575 0.0000
LX2 -0.888841 0.378298 -2.349579 0.0258
C -5.859048 1.714789 -3.416775 0.0019
R-squared 0.984995     Mean dependent var 5.316077
Adjusted R-squared 0.983960     S.D. dependent var 0.526034
S.E. of regression 0.066621     Akaike info criterion -2.490531
Sum squared resid 0.128713     Schwarz criterion -2.353118
Log likelihood 42.84850     F-statistic 951.8544
Durbin-Watson stat 0.934445     Prob(F-statistic) 0.000000

可以知道通過對數(shù)變換后，數(shù)值之間的異方差大大的變小，又由檢驗結果的擬合度可以知道，該模型擬合效果很好。

三、自相關檢驗：
 1．用OLS估計方法求模型（3）的參數(shù)估計
                     （3）
 從表4可以得到以下估計值

從回歸結果看，基本模型（3）的擬合度非常之高，應該是很滿意了。但是，這個模型并沒有考慮到我們的數(shù)據(jù)是一個時間序列。實際上，在對時間序列數(shù)據(jù)作回歸分析時，模型的隨機誤差項有可能存在相關性，違背了模型關于（對時間t）相互獨立的基本假設。如在投資額模型中，國民生產總值和物價指數(shù)之外的因素（比如政策等因素）對投資額的影響包含在隨機誤差項中，如果它的影響成為的主要部分，則由于政策等因素的連續(xù)性，它們對投資額的影響也有時間上的延續(xù)，即隨即誤差項可能會出現(xiàn)（自）相關性。

 2．自相關性的診斷與模型的改進
（1）圖示法。
 殘差可以作為隨即誤差項的估計值，運用Eviews可以直接得到模型（2）的殘差，同時畫出了 的散點圖，能夠從直觀上判斷的自相關性。（見圖3）

 
 圖3    的散點圖
從圖3中可以看出殘差呈線性自回歸，表明隨即誤差項存在自相關。

（2）DW檢驗。
    根據(jù)表4估計結果，由DW=0.9344,給定顯著性水平，查Durbin-Watson表，n=32,k’（解釋變量個數(shù)）=2，得下限臨界值,上限臨界值，因為DW統(tǒng)計量為0.9344<。根據(jù)判定區(qū)域知，這時隨機誤差項存在正的自相關。

相關的修正。
廣義差分法。
由DW=0.9344,根據(jù),計算出
GENR DY=LY-0.5328*LY(-1)
GENR DX1=LX1-0.5328*LX1(-1)
GENR DX2=LX2-0.5328*LX2(-1)
（表5）
Dependent Variable: DY
Method: Least Squares
Date: 06/08/04   Time: 18:57
Sample(adjusted): 2 32
Included observations: 31 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -3.602601 1.125913 -3.199715 0.0034
DX1 1.834636 0.342573 5.355460 0.0000
DX2 -1.299823 0.509904 -2.549152 0.0166
R-squared 0.948592     Mean dependent var 2.522311
Adjusted R-squared 0.944920     S.D. dependent var 0.242080
S.E. of regression 0.056814     Akaike info criterion -2.806297
Sum squared resid 0.090380     Schwarz criterion -2.667524
Log likelihood 46.49760     F-statistic 258.3306
Durbin-Watson stat 1.665688     Prob(F-statistic) 0.000000

然后再用OLS方法估計其參數(shù)，結果為：
                  (4)
      （-3.1997）  （5.3555）   （-2.5492）

這是我們發(fā)現(xiàn)經用廣義差分法后，DW值有明顯的提高，DW=1.6657與上述的相比，已經不存在自相關。

模型的分析
我們進行了一系列檢驗和修正后的最終結果如下：
                  (4)
      （-3.1997）  （5.3555）   （-2.5492）

從模型中可看出：
DX2不符合經濟意義的檢驗（參數(shù)的大小及符號）。因為從經濟意義上講，投資額應隨國民生產總值的增加而增加，隨物價指數(shù)的增加而增加，即DX2的系數(shù)應為正值。
由上述分析可知，我們的模型并不成功。

總結：
 綜上所述，對帶有滯后性的經濟規(guī)律的時間序列數(shù)據(jù),我們采用時間序列數(shù)據(jù)擬合的模型不能成功的反映投資額與各影響因素間的數(shù)量關系，是一個失敗的模型。我們做了仔細分析，認為可能主要是出于以下幾種原因：
（1）由于我們引入的時間序列數(shù)據(jù)帶有滯后性，從而帶來多重共線性問題。在修正多重共線性當中，我們采用了逐步回歸法，也即剔除變量法，但是因為我們的投資模型只有兩個解釋變量，修正多重共線性會使得我們的解釋變量被大部分剔除，因而導致我們的修正無效。
（2）我們在模型中所做的假定不合理。在投資額模型中，國民生產總值和物價指數(shù)之外的因素（比如政策等因素）對投資額的影響包含在隨機誤差項中。然而在實體經濟中，很多變量對于投資額都有影響，不可能全都包括在隨機誤差項中，而這些重要變量在我們的模型中被忽略掉了。可能正是由于我們對這些重要因素所不得不作出的忽略，導致了模型的失敗。
（3）由于我國的統(tǒng)計數(shù)據(jù)含有一定的水分，而導致了我們賴以進行參數(shù)估計的數(shù)字基礎不具備可靠性，可能也是重要原因之一。

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