“輔助線”在物理解題中的應(yīng)用

“輔助線”在物理解題中的應(yīng)用
 法拉第為了形象地描述電磁場(chǎng)，引入了輔助線     電場(chǎng)線和磁感線。同樣當(dāng)求解物理問(wèn)題感到困惑時(shí)，有時(shí)通過(guò)添加輔助線（可以是直線或曲線），立刻就會(huì)“豁然開(kāi)朗”，從而茅塞頓開(kāi)，使問(wèn)題迎刃而解。下面就輔助線在圖象、作圖、物理情景的轉(zhuǎn)化、構(gòu)建回路、幾何關(guān)系的挖掘等方面的應(yīng)用舉例如下。
 1、輔助線在圖象中的應(yīng)用
 例1  圖1-1為一物體作直線運(yùn)動(dòng)的v－t圖，初速為v0，末速為vt，則物體在t1時(shí)間內(nèi)的平均速度              
 A、=(v0+vt)/2    B、>(v0+vt)/2
 C、<(v0+vt)/2    D、無(wú)法確定
 解析  由圖1-2可知，物體作變加速直
線運(yùn)動(dòng)。而選項(xiàng)中(v0+vt)/2是初速為v0、末
速為vt的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度。為找
出此勻變速直線運(yùn)動(dòng)與變加速直線運(yùn)動(dòng)平均速度的關(guān)系，在圖1-2中連接點(diǎn)（0,v0）和點(diǎn)（t0, vt）作一表示初速為v0、末速為vt的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的輔助線，如圖1-2所示。由圖1-2中的曲線和直線與坐標(biāo)軸所圍面積可得，t0時(shí)間內(nèi)變加速運(yùn)動(dòng)的位移大于勻變速運(yùn)動(dòng)的位移，即t0時(shí)間內(nèi)變加速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度大于勻變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度。正確答案為（B）。
 點(diǎn)評(píng)：本題利用輔助線比較相同時(shí)間內(nèi)勻變速直線運(yùn)動(dòng)和變加速直線運(yùn)動(dòng)位移的大小關(guān)系，從而得到平均速度的大小關(guān)系。在求解與物理圖象相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常通過(guò)在圖象中作一些表示物理過(guò)程的輔助線，使問(wèn)題迎刃而解。
 2、輔助線在作圖中的應(yīng)用
 例2  如圖2-1所示，A、B、C三點(diǎn)是勻強(qiáng)電場(chǎng)中的三個(gè)點(diǎn)，三點(diǎn)的電勢(shì)分別為。試畫(huà)出該勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)線的分布示意圖。
 解析  因?yàn)槭莿驈?qiáng)電場(chǎng)，且，
故可先確定過(guò)B點(diǎn)的等勢(shì)面。連結(jié)AC，取AC的中
點(diǎn)D ，再連結(jié)BD ，則BD即為過(guò)B點(diǎn)的等勢(shì)面。
根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)線與等勢(shì)面垂直，電場(chǎng)線的方向指向電
勢(shì)降低的方向，可畫(huà)出其電場(chǎng)線的分布示意圖如圖2-2所示。 
 點(diǎn)評(píng)：本題利用輔助線找到等勢(shì)點(diǎn)、作等勢(shì)面，從而作出勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)線的分布示意圖。在物理作圖題中，常借助輔助線來(lái)說(shuō)明其演變過(guò)程，讓人理解作圖的思路、原理。
 3、輔助線在情景轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用
 例3  一個(gè)光滑杯子的直徑是d，高為h，如圖3-1所示，
今有一小球在杯口沿直徑方向向杯內(nèi)拋出，到達(dá)杯底時(shí)的位置
與拋出時(shí)的位置在同一直線上，小球與杯碰撞n次且無(wú)能量損失，
求小球拋出時(shí)的速度。
 解析  因小球與杯碰撞n次無(wú)能量損失，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性
將n段運(yùn)動(dòng)軌跡湊成拋物線，將復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)情景轉(zhuǎn)化為圖3-2
的平拋運(yùn)動(dòng)。由平拋規(guī)律有       nd=v0t ①   h=②  解①②得v0=
 點(diǎn)評(píng)：本題利用輔助線將n段運(yùn)動(dòng)軌跡湊成平拋的拋物線，通過(guò)添加輔助線將復(fù)雜的物理情景轉(zhuǎn)化為熟悉的情景，從而令人茅塞頓開(kāi)。
 4、輔助線在構(gòu)建回路中的應(yīng)用
 例4  如圖4-1所示，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)充滿磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度以=k的變化率均勻變化，其方向垂直圓形平面向里。一長(zhǎng)度為r、固定不動(dòng)的直導(dǎo)線ab垂直磁場(chǎng)方向置于磁場(chǎng)中，且直導(dǎo)線兩端a、b恰在圓周上，求導(dǎo)線ab中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小？
 解析  根據(jù)對(duì)稱性，在圓形區(qū)域內(nèi)添加五條與ab 
相同的直導(dǎo)線作為輔助線，構(gòu)成一個(gè)內(nèi)接正六邊形導(dǎo)
線回路，如圖4-2所示。由法拉第電磁感應(yīng)定律可得
回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)①，而正六邊
形面積S=②，由對(duì)稱性得直導(dǎo)線ab中感應(yīng)電
動(dòng)勢(shì)③     解①②③得
 點(diǎn)評(píng)：本題乍一看似乎超綱，感到無(wú)從下手。解題的關(guān)鍵是利用輔助線構(gòu)建一閉合回路，從而利用法拉第電磁感應(yīng)定律求出導(dǎo)線的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔明了。
 5、輔助線在幾何關(guān)系中的應(yīng)用
 例5  如圖5-1所示，傾角為30°的直角三角形底邊長(zhǎng)2L，且處于水平位置，斜面為光滑絕緣導(dǎo)軌�，F(xiàn)在底邊中點(diǎn)O處固定一正點(diǎn)電荷Q，讓一質(zhì)量為m的帶正電的點(diǎn)電荷q從斜面頂端A處釋放沿斜面滑下（不脫離斜面）�，F(xiàn)測(cè)得它滑到B點(diǎn)在斜邊上的垂足D點(diǎn)處的速度為v，加速度為a，方向沿斜面向下。求該點(diǎn)電荷滑到斜面底端C點(diǎn)時(shí)的速度vc和加速度ac各為多大？
 解析  由于點(diǎn)電荷q下滑過(guò)程
中所受固定電荷Q對(duì)它的電場(chǎng)力大
小、方向時(shí)刻改變，直接運(yùn)用物理
規(guī)律解題感到很困難。但認(rèn)真分析
圖5-1中的幾何關(guān)系發(fā)現(xiàn)，若連接DO
作一條輔助線，如圖5-2所示，則由幾何關(guān)系可知：DO＝CO=BO。這一幾何關(guān)系的發(fā)現(xiàn)使問(wèn)題的求解有兩點(diǎn)突破：a、DO＝CO=BO表明D、C、B三點(diǎn)位于固定電荷Q的同一等勢(shì)面上，q經(jīng)D點(diǎn)到C點(diǎn)的過(guò)程中電場(chǎng)力不作功。b、DO＝CO還表明點(diǎn)電荷q經(jīng)D點(diǎn)時(shí)和到達(dá)C點(diǎn)時(shí)所受電場(chǎng)力大小相等。
 （1）q從D運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，只有重力作功，由機(jī)械能守恒定律得  ①由幾何關(guān)系有CD=②解①②得
 （2）在D點(diǎn)和C點(diǎn)分別對(duì)電荷q受力分析如圖5-2，由牛頓第二定律得：
mgsin30°- Foos3o°=ma③  mgsin30°＋ Fcos30°= mac④    解③④得：ac＝g-a。
 點(diǎn)評(píng)：本題利用輔助線找出了D、C兩點(diǎn)在同一等勢(shì)面上的關(guān)系，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。在較復(fù)雜的綜合題中，利用輔助線認(rèn)真挖掘題中幾何關(guān)系是解題的關(guān)鍵。

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