數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用
熱點(diǎn)類(lèi)型八 數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用
數(shù)學(xué)是所有自然科學(xué)，甚至社會(huì)科學(xué)的工具，所有自然現(xiàn)象、社會(huì)現(xiàn)象都可以抽象、概括成一個(gè)數(shù)學(xué)模型，這種特點(diǎn)在物理學(xué)中尤為明顯，這就要求學(xué)生能靈活利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力非常高，所以應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題是《考試大綱》中明確要求的五大能力之一.數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，其思想、方法和知識(shí)始終滲透、貫穿于整個(gè)物理學(xué)習(xí)和研究的過(guò)程中，為物理概念、定律的表述提供簡(jiǎn)潔、精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，為學(xué)生進(jìn)行抽象思維和邏輯思維推理提供有效的方法，為物理學(xué)中的數(shù)量分析和計(jì)提供有力的工具.
在歷年的高考中對(duì)利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力考查主要了體現(xiàn)在：（1）利用函數(shù)方法解決物體的各種物理量隨時(shí)變化的問(wèn)題：如二次函數(shù)、三角函數(shù)、正比函數(shù)、反比函數(shù)的應(yīng)用常；（2）應(yīng)用坐標(biāo)圖、幾何圖形，分析物理量的變化及運(yùn)動(dòng)情況等，主要是圖形的識(shí)別、計(jì)算、圖形的建立，如在光學(xué)、電磁學(xué)領(lǐng)域解題的關(guān)鍵往往就是對(duì)圖形的理解與應(yīng)用；（3）利用數(shù)學(xué)中的間斷點(diǎn)、拐點(diǎn)、區(qū)間等分析極法、臨界值等；（4）歸納法、數(shù)列、無(wú)窮等比（差）數(shù)列求和法、極限等在解決物理問(wèn)題時(shí)也經(jīng)常出現(xiàn)。
押題1 如圖8-1所示，三名質(zhì)量相等的運(yùn)動(dòng)員手拉手脫離飛機(jī)作花樣跳傘.由于作了某種動(dòng)作，運(yùn)動(dòng)員C質(zhì)心的加速度為，鉛直向下，運(yùn)動(dòng)員A質(zhì)心的加速度為，與鉛直方向30°，加速度均以地球?yàn)閰⒖枷担筮\(yùn)動(dòng)員B的質(zhì)心加速度.運(yùn)動(dòng)員所在高度的重力加速度為g.運(yùn)動(dòng)員出艙后很長(zhǎng)時(shí)間才張傘，不計(jì)空氣阻力.
【押題依據(jù)】 本題考查學(xué)生運(yùn)用牛頓第二定律的應(yīng)用，注重了運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題能力的考查，物理情景緊密聯(lián)系生活實(shí)際，同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生的分析、推理能力，解決實(shí)際問(wèn)題的能力.押題指數(shù)7.
【解題指導(dǎo)】 以這三名運(yùn)動(dòng)員組成的系統(tǒng)為對(duì)象，由于不考慮空氣阻力，系統(tǒng)所受合力為，方向豎直向下，由質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律，得：，即得，.
取運(yùn)動(dòng)員A質(zhì)心加速度的水平分量方向和豎直向下分別為X軸和Y軸正方向，將上式投影得：
X軸方向上，有，即得
Y軸方向上，有，即得
故 運(yùn)動(dòng)員B的質(zhì)心加速度大小為：，與鉛直方向成.
【得分錦囊】 因?yàn)楸绢}涉及的知識(shí)比較復(fù)雜，需要運(yùn)用的知識(shí)比較多，尤其對(duì)矢量的合成與分解考查，所以解決問(wèn)題的關(guān)鍵是要弄清物體所受力的情況求加速度，然后利用正交分解法分解加速度.
押題２如圖，小船從A碼頭出發(fā)，沿垂直于河岸的方向渡河，若河寬為d，渡河速度υ1恒定，河水的流速與到河岸的距離x成正比，即（，k為常量），要使小船能夠到達(dá)距A針對(duì)為s的B碼頭，則：
（1）船速為多少？（2）渡河時(shí)間為多少？
【押題依據(jù)】關(guān)于小船過(guò)河的問(wèn)題我們經(jīng)常遇到水速一致的情景，此題是依據(jù)實(shí)際情況來(lái)命題的，也符合考試大綱中對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力。押題指數(shù)8。
【解題指導(dǎo)】（1）由于，而，所以x與t成正比，則υ2與t成正比 ，則過(guò)河時(shí)向下游移動(dòng)的位移為S，利用圖象8-2說(shuō)明為三角形的面積為位移S，則，
（2）渡河時(shí)間為
【得分錦囊】解決本題的關(guān)鍵是理解速度與位移的關(guān)系來(lái)找與時(shí)間的關(guān)系，明確求位移的方法即可。注意面積所代表的意義。
押題３ 如圖8-3所示，一塊足夠長(zhǎng)的木板放在光滑的水平面上，在木板上自左向右放有序號(hào)為1，2，3，…，n號(hào)的木塊，所有木塊的質(zhì)量均為m，與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)都相同.開(kāi)始時(shí)，木板靜止不動(dòng)，第1，2，3，…，n號(hào)的木塊分別以初速度υ0，
2υ0、3υ0…nυ0同時(shí)運(yùn)動(dòng)，υ0方向向右.設(shè)木板的質(zhì)量與所有木塊的總質(zhì)量相等，最終所有木塊與木板以共同的速度勻速前進(jìn)，試求：
（1）所有木塊與木板一起勻速運(yùn)動(dòng)的速度；
（2）第1號(hào)木塊與木板剛好相對(duì)靜止時(shí)的速度υ1；（3）第（n-1）號(hào)木塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小速度.
【押題依據(jù)】 本題根據(jù)考查動(dòng)量知識(shí)為主題，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，這也是研究多個(gè)物體碰撞時(shí)經(jīng)常應(yīng)用的方法.押題指數(shù)8.
【解題指導(dǎo)】 （1）木塊和木板組成的系統(tǒng)受到的合外力為零，系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒.對(duì)全過(guò)程應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，有：
所以.
（2）當(dāng)木塊1的速度變?yōu)棣?時(shí)，速度減小量為（υ0-υ1）.由于每個(gè)木塊的質(zhì)量相同，故其受到的滑塊摩擦力相同，每個(gè)木塊運(yùn)動(dòng)的加速度也相同，故速度變化相同，即其他木塊的速度減少量也為（υ0-υ1）.n塊木塊的動(dòng)量的減少量nm（υ0-υ1），木板的動(dòng)量變化為nmυ1，根據(jù)動(dòng)量守恒定律： 所以
（3）當(dāng)?shù)冢╪-1）號(hào)木塊與木板具有共同速度時(shí)，該木塊前面的木塊均與木板具有共同的速度，均為，則
所以.
【得分錦囊】本題考查了自然數(shù)列求和在動(dòng)量守恒中的應(yīng)用，解決此類(lèi)題應(yīng)注意明顯是多個(gè)物體間的相互作用，應(yīng)先從第一次、第二次找規(guī)律，然后再根據(jù)此來(lái)類(lèi)推Ｎ個(gè)的情況，利用好數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)規(guī)律再利用數(shù)學(xué)中的等比或等差知識(shí)來(lái)分析求解。
押題４ 如圖8-4所示，小球從長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑斜面頂端自由下滑，滑到底端時(shí)與擋板碰撞并反彈而回.若每次與擋板碰撞后的速度大小為碰撞前的4/5，求小球從開(kāi)始下滑到最終停止于斜面下端一共通過(guò)的過(guò)程.
【押題依據(jù)】 本題就運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性來(lái)命題，本題以等比數(shù)列求和數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，押題指數(shù)8.
【解題指導(dǎo)】 小球在斜面上下滑和反彈而回的加速度相等，設(shè)為.小球第一次碰撞前、后速率及反彈路程分別為：
，，
第二次碰撞前、后速率及反彈路程分別為：
，，
第n次碰撞前、后速率及反彈路程分別為：
，，
所以小球最終停止于擋板處時(shí)所經(jīng)歷的總路程為：
【得分錦囊】 本題就數(shù)學(xué)歸納法與等比數(shù)列求和在物理解題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出速度、位移的關(guān)系，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)能力提出較高要求，學(xué)生要通過(guò)聯(lián)系加強(qiáng)這方面的能力.
押題５ 如圖8-4所示，臨界角為45°的液面上有一點(diǎn)光源S，發(fā)出一束光線(xiàn)，垂直入射到水平放置于液體中，且距離液面為d的平面鏡M上，當(dāng)平面鏡M繞垂直過(guò)中心O的軸以角速度ω逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，觀察者發(fā)現(xiàn)水面上有一光斑掠過(guò)，設(shè)t=0時(shí)平面鏡處于水平放置且鏡面向上，試確定觀察者所觀察到的光斑在水面上的掠移速度υ與時(shí)t間的函數(shù)關(guān)系式，并求出該光斑的最大掠移速率為多少？
【押題依據(jù)】 對(duì)于光學(xué)的光路問(wèn)題是高考的出題點(diǎn)，考查的關(guān)鍵是如何利用幾何知識(shí)來(lái)解決，注意角度.押題指數(shù)7.
【解題指導(dǎo)】 如圖8-6所示， 經(jīng)時(shí)間t，平面鏡轉(zhuǎn)過(guò)的，光線(xiàn)反射到水平面上的P點(diǎn)，將光斑速度如圖作出⊥分解，可知，而υ⊥=ι•2ω，而，所以.設(shè)水的臨界角為C，當(dāng)時(shí)，光線(xiàn)在水平面發(fā)生全反射而不能透過(guò)水面，觀察者將觀察不到光斑，因此，能觀察到光斑的條件是，即，故，從而υ與t的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，υ趨向于最大速率
【得分錦囊】 本題考查了反射與全反射問(wèn)題，注意速度的合成與角度，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決時(shí)特別應(yīng)注意角度，并且要注意光會(huì)發(fā)生全反射，有一個(gè)極值問(wèn)題，利用三角函數(shù)來(lái)分析.
押題６ 如圖8-7所示，一質(zhì)量為500 kg的木箱放在質(zhì)量為2 000 kg的平板車(chē)尾，木箱到駕駛室距離為L(zhǎng)=1.6m,已知木箱與平板車(chē)間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.484.平板車(chē)在運(yùn)
動(dòng)中所受阻力是車(chē)和箱總重0.20倍,平板車(chē)以υ0=22.0 m/s恒定速度行駛,突然駕駛員剎車(chē)做勻減速運(yùn)動(dòng).為使木箱不撞擊駕駛室(g=10 m/s2)試求:
(1)從剎車(chē)開(kāi)始到平板車(chē)完全停止至少多長(zhǎng)時(shí)間?
(2)駕駛員剎車(chē)時(shí)的制動(dòng)力不能超過(guò)多大?
【押題依據(jù)】 在高考中對(duì)追及相遇問(wèn)題中經(jīng)常涉及不等式的應(yīng)用，在本題中就此問(wèn)題進(jìn)行命制。押題指數(shù)8.
【解題指導(dǎo)】 (1)設(shè)剎車(chē)后,平板車(chē)的加速度為,從剎車(chē)到車(chē)停止經(jīng)歷時(shí)間,車(chē)所行駛距離為,則,,欲使小,應(yīng)該大,作用于木箱的滑動(dòng)摩擦力產(chǎn)生的加速度
當(dāng) 時(shí)，木箱相對(duì)車(chē)底滑動(dòng)，從剎車(chē)到車(chē)停木箱向前滑動(dòng)的路程為，則 為使木箱不撞擊駕駛室，應(yīng)有
聯(lián)立以上解得，所以
（2）設(shè)平板車(chē)，設(shè)制動(dòng)力為F，則
解得.
【得分錦囊】 本題一定理解好位移之間的關(guān)系，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解，解決追及相遇問(wèn)題，一般應(yīng)列好兩個(gè)方程位移關(guān)系方程，加速度方程，利用不等式解決.
押題７ 如圖8-8所示，在光滑的水平面上沿直線(xiàn)按不同的間距依次排列著質(zhì)量均為m的滑塊1、2、3、……、（n—1）、n.滑塊P的質(zhì)量也為m，它在大小為F的水平恒力作用下向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間T與滑塊1碰撞，碰撞后滑塊P便與滑塊1粘連在一起，以后每經(jīng)過(guò)時(shí)間T就與下一滑塊碰撞一次，每次碰撞后均粘連在一起，碰撞的時(shí)間極短（可不計(jì)），每個(gè)滑塊都可簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，已知在整個(gè)過(guò)程中力F始終作用在P上，求：
（1）第一次碰撞后瞬間的速度及第一次碰撞過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能；
（2）發(fā)生第n次碰撞后滑塊P的速度；
（3）第（n—1）個(gè)滑塊與第n個(gè)滑塊間的距離；
（4）從第一次碰撞到第n次碰撞的整個(gè)過(guò)程中，因碰撞損失的機(jī)械能是多少.
【押題依據(jù)】 在高考中經(jīng)常會(huì)涉及有關(guān)動(dòng)量守恒的內(nèi)容與數(shù)學(xué)知識(shí)的緊密結(jié)合，本題設(shè)計(jì)了多個(gè)滑塊的碰撞，應(yīng)從中找出規(guī)律來(lái)求解. 押題指數(shù)8.
【解題指導(dǎo)】 (1)滑塊P與滑塊1碰撞時(shí)動(dòng)量守恒，得
由動(dòng)量定理得 所以得，產(chǎn)生的內(nèi)能為
（2）力F的總沖量為n個(gè)滑塊的總動(dòng)量，即得
（3）由（2）可得，由牛頓第二定律得，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得
（4）由以上可得，，，所以到第n次碰撞的整個(gè)過(guò)程中力F做的功為
從第一次碰撞到第n次碰撞的整個(gè)過(guò)程中因碰撞損失的機(jī)械能是
.
【得分錦囊】 本題關(guān)鍵是理清碰撞情景，尤其在解決最后一問(wèn)時(shí)，應(yīng)該知道力F做的總功減去最后的動(dòng)能等于碰撞產(chǎn)生的內(nèi)能，在最后的解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.
押題８ 如圖8-9所示電路四個(gè)干電池，每個(gè)電池E=1.5 V,r=0.5Ω, R1=2 Ω, R2=6 Ω,R3為變阻器,總電阻為12 Ω,求變阻器觸頭C移至什么位置時(shí)V讀數(shù)最大?電壓表讀數(shù)的最大值是多少伏?
【押題依據(jù)】 本題明顯的一道極值問(wèn)題，這是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，有時(shí)高考在最大值、最小值上命題.押題指數(shù)8.
【解題指導(dǎo)】 設(shè)則
電壓表的讀數(shù)為
令可以看出當(dāng)有極大值時(shí)，U有極大值，由分析可得，
當(dāng)時(shí)，
所以得.
【得分錦囊】 本題考查的極值問(wèn)題，解決此類(lèi)題的方法是利用物理情景規(guī)律列出方程，利用函數(shù)思想來(lái)解決.
押題９ 如圖8-10所示,直角坐標(biāo)系中,在的區(qū)域存在沿軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng),場(chǎng)強(qiáng)大小為；在的區(qū)域存在一垂直紙面的矩形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng),其左邊界和下邊界分別與、軸重合,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為(圖中未畫(huà)出),現(xiàn)有一質(zhì)量為電量為的質(zhì)子從第二象限的某點(diǎn)以初速度沿軸正方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng),以的速度經(jīng)坐標(biāo)為（0，）的點(diǎn).在經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)沿軸的負(fù)方向返回電場(chǎng),不計(jì)質(zhì)子的重力.求:
(1)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)矩形磁場(chǎng)的面積
【押題依據(jù)】 對(duì)電場(chǎng)與磁場(chǎng)的考查經(jīng)常是相互關(guān)聯(lián)但不復(fù)合，本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)與在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)，重點(diǎn)在利用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題的能力的考查.押題指數(shù)9.
【解題指導(dǎo)】 （1）如圖8-11所示，設(shè)點(diǎn)的.坐標(biāo)為（）.從到，質(zhì)子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng).設(shè)過(guò) 點(diǎn)時(shí)的速度與軸的夾角為，則：
所以
質(zhì)子在點(diǎn)方向的分速度
在電場(chǎng)中質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的加速度設(shè)質(zhì)子由到的時(shí)間為，則
解得：
（2）設(shè)所加的最小矩形磁場(chǎng)的高和底長(zhǎng)分別為，質(zhì)子在磁場(chǎng)中的做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為，則：
所以 又
所以.
【得分錦囊】 解決本題的關(guān)鍵應(yīng)理解物體運(yùn)動(dòng)的情景，應(yīng)明確在電場(chǎng)中的類(lèi)平拋，磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)，注意在磁場(chǎng)中如何利用平面幾何知識(shí)分析，求半徑、求面積，這是分析解決本題好本題的重要點(diǎn).
押題１０ 如圖8-12所示，光滑且足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在同一水平面上，兩導(dǎo)軌間距L=2．５m,電阻R=4Ω,導(dǎo)軌上放一質(zhì)量m=0.5kg的金屬桿,導(dǎo)軌和金屬桿的電阻不計(jì),整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.80T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,磁場(chǎng)方向豎直向下,現(xiàn)用一拉力沿水平方向拉桿, 使之由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng),繪出回路中電流的平方隨時(shí)間t變化的i2—t圖線(xiàn)8-13,求5s內(nèi)(1)金屬桿的最大動(dòng)能;(2)電流的有效值;(3)拉力做的功.
【押題依據(jù)】 對(duì)高考近幾年經(jīng)常出情景新穎綜合性強(qiáng)的題目,本題就電磁感應(yīng)知識(shí)為依托,重點(diǎn)考查了學(xué)生對(duì)圖象的理解,如何求有效值,強(qiáng)化了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用. 押題指數(shù)9.
【解題指導(dǎo)】 (1)由,,,得
所以當(dāng)I最大時(shí),即時(shí),動(dòng)能最大
(2)由于i2—t圖線(xiàn)是直線(xiàn)，得i2＝kt，根據(jù)圖8-14中斜線(xiàn)所畫(huà)的面積,由有效值的概念得即
所以.
(3)由功能關(guān)系得拉力做的功為.
【得分錦囊】 解決本題的關(guān)鍵是對(duì)圖象的理解,明確面積所代表的意義,可知利用面積求產(chǎn)生的熱量,這是本題的難點(diǎn),只要突破了此點(diǎn),本題迎刃解決.注意課本在講位移時(shí)介紹了面積所代表的意義，所以在解決其它問(wèn)題時(shí)希望學(xué)生能很好的利用這一思想。
押題1１ 如圖8-15所示，坐標(biāo)空間中有場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，y軸為兩種場(chǎng)的分界線(xiàn)，圖中虛線(xiàn)為磁場(chǎng)區(qū)的右邊界，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電量為-q的帶電粒子（不計(jì)重力），從電場(chǎng)中P點(diǎn)以初速度υ0沿x軸正方向運(yùn)動(dòng).已知P點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.試求：
（1）要使帶電粒子能穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)而不再返回到電場(chǎng)中，磁場(chǎng)的寬度d應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？
（2）要使帶電粒子恰好不能從右邊界穿出磁場(chǎng)區(qū)，則帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少？
【押題依據(jù)】 在磁場(chǎng)中考查帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況時(shí)經(jīng)常會(huì)涉及圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí),本題依此來(lái)進(jìn)行命題的.押題指數(shù)7.
【解題指導(dǎo)】（1）研究帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)：
水平方向：，解得：
豎直方向，由動(dòng)量定量得：解得：
所以粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度：，方向與x軸成45°角，研究帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)：當(dāng)粒子剛好不從磁場(chǎng)右邊界穿出時(shí)，其軌跡如圖8-16所示，由牛頓第二定律得：，得
解得：
所以，要使帶電粒子在穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域而不再返回電場(chǎng)中，磁場(chǎng)的寬度d應(yīng)滿(mǎn)足的條件為：
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期
運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.
【得分錦囊】 本題考查來(lái)電偏轉(zhuǎn)與磁偏轉(zhuǎn)問(wèn)題,電偏轉(zhuǎn)問(wèn)題應(yīng)注意應(yīng)用類(lèi)平拋知識(shí),對(duì)于磁偏轉(zhuǎn)應(yīng)注意圓周運(yùn)動(dòng)確定圓心找半徑,關(guān)于圓的知識(shí)考查的較詳細(xì),做題時(shí)應(yīng)注意圓心角、弦切角、弦與角之間的關(guān)系.
押題1２ 如圖8-17所示，寬為L(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，且B的方向豎直向下.電源的電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r.不計(jì)其他電阻和一切摩擦，求當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合后，金屬棒PQ速度多大時(shí)，機(jī)械功率最大？最大值是多少？
【押題依據(jù)】 高考在對(duì)利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的考查是多方面的，這就要求學(xué)生能靈活的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，平時(shí)做題時(shí)應(yīng)養(yǎng)成這樣的
思維.押題指數(shù)8.
【解題指導(dǎo)】當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合后，電路中的電流為I，金屬棒受到的安培力為
可見(jiàn)，F(xiàn)與υ是線(xiàn)性關(guān)系，作出F—υ圖線(xiàn)如圖8-18所示，根據(jù)直角三角形內(nèi)接矩形的性質(zhì)，（證明：在圖8-19中，陰影面積為S，所以，由于θ恒定，根據(jù)定和求積原理，當(dāng)AC=BC時(shí)，CD與CF的乘積最大，）即當(dāng)金屬棒PQ的速度時(shí)，金屬棒機(jī)械功率最大，最大值為
【得分錦囊】 在數(shù)學(xué)中有這樣一個(gè)結(jié)論，在直角三角形中，其內(nèi)接矩形的面積的最大值是直角三角形面積的一半，其中四個(gè)頂點(diǎn)中有兩個(gè)位于兩直角邊的中點(diǎn)上，一個(gè)位于斜邊，另一個(gè)為直角對(duì)應(yīng)的點(diǎn).本題就是利用這一原理解題的，解決此類(lèi)最值問(wèn)題應(yīng)先利用物理知識(shí)列出函數(shù)表達(dá)式，然后利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析.
押題1３ 如圖8-20所示，理想變壓器的原線(xiàn)圈接在電動(dòng)勢(shì)為E、內(nèi)阻為r的交變電源上，副線(xiàn)圈接阻值為R的電阻.當(dāng)理想變壓器原、副線(xiàn)圈的匝數(shù)之比為多大時(shí)，消耗在電阻上的電功率最大？最大值為多少？
【押題依據(jù)】 本題就利用換元法及二次函數(shù)求極值問(wèn)題來(lái)設(shè)計(jì)，題目對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的要求能力非常高.押題指數(shù)8.
【解題指導(dǎo)】根據(jù)相應(yīng)的物理規(guī)律可得：
設(shè)，由上述方程消去參量，可將P表示為的函數(shù)為：
由于P表示為的函數(shù)較為復(fù)雜，使得通過(guò)直接分析其單調(diào)性求極值點(diǎn)和極值不方便，所以還應(yīng)再次換元簡(jiǎn)化函數(shù)形式.利用
代入上式得：，所以當(dāng)，即當(dāng)變壓器原、副線(xiàn)圈匝數(shù)比為時(shí)，負(fù)載上的消耗電功率最大，最大功率為.
【得分錦囊】 解決此類(lèi)求最值問(wèn)題一定應(yīng)先利用物理知識(shí)列出函數(shù)表達(dá)式，然后觀察利用那些數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析，可利用圖形、極限、判別式等方法求極值，本題就利用換元法及二次函數(shù)來(lái)求極值的，希望學(xué)生在解決最值問(wèn)題時(shí)多動(dòng)動(dòng)腦筋，思路還是比較明顯的.
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